位或操作（|）的非递减性

1. 位或操作（|）的非递减性​

位或操作（|）是一个位级操作，它对两个数的每一个二进制位独立进行逻辑或运算：

• 如果某一位是 1，则结果的该位一定是 1（因为 1 | x = 1）。
• 如果某一位是 0，则结果的该位取决于另一个数的对应位（0 | 0 = 0，0 | 1 = 1）。

​为什么 a | b ≥ a 和 a | b ≥ b？​​

• ​**a | b ≥ a**​：

  • 对于 a 的每一位：
    • 如果 a 的某一位是 1，则 a | b 的该位一定是 1（因为 1 | x = 1），所以 a | b 的该位 ≥ a 的该位。
    • 如果 a 的某一位是 0，则 a | b 的该位取决于 b 的对应位：
      • 如果 b 的该位是 1，则 a | b 的该位是 1（比 a 的 0 大）。
      • 如果 b 的该位是 0，则 a | b 的该位是 0（和 a 的 0 相同）。
  • ​结论​：a | b 的每一位要么等于 a 的对应位，要么比 a 的对应位大，因此 a | b ≥ a（按数值比较）。

• ​**a | b ≥ b**​：

  • 同理，a | b 的每一位要么等于 b 的对应位，要么比 b 的对应位大，因此 a | b ≥ b。

​推广到多个数字​

对于多个数字 a₁, a₂, …, aₙ，逐步进行按位或操作：

• a₁ | a₂ ≥ a₁ 且 a₁ | a₂ ≥ a₂
• (a₁ | a₂) | a₃ ≥ (a₁ | a₂) 且 (a₁ | a₂) | a₃ ≥ a₃
• …
• a₁ | a₂ | … | aₙ ≥ a₁ | a₂ | … | aₙ₋₁ 且 a₁ | a₂ | … | aₙ ≥ aₙ

因此，​最终的按位或结果 a₁ | a₂ | … | aₙ 是所有中间结果中的最大值，因为它不断累积更多的 1 位，而不会减少任何位。

​2. 为什么最终最大的或结果是全部数字的或？​​

因为按位或操作是单调非递减的​（即 x | y ≥ x 和 x | y ≥ y），所以：

• 每次进行 | 操作，结果只会增加或保持不变​（不会减少）。
• 因此，​最终所有数字的或 a₁ | a₂ | … | aₙ 会包含所有可能的 1 位，即最大的可能值。

​例子​

假设我们有三个数字：

• a = 5（0101）
• b = 3（0011）
• c = 6（0110）

逐步计算：

最终结果 7 是所有数字的或，也是最大的可能值。

​3. 贪心策略的解释​

这个问题类似于贪心算法中的最大化二进制位问题：

• 我们希望结果的二进制表示中尽可能多的 1 位。
• 每次进行 | 操作，都会保留或增加 1 位，而不会减少 1 位。
• 因此，​最终所有数字的或 a₁ | a₂ | … | aₙ 会包含所有可能的 1 位，即最大值。

​结论​

• ​按位或操作 | 是非递减的，即 a | b ≥ a 和 a | b ≥ b。
• ​逐步进行 | 操作，结果只会增加或保持不变，不会减少。
• ​最终所有数字的或 a₁ | a₂ | … | aₙ 会包含所有可能的 1 位，因此是最大的可能值。

这就是为什么最终最大的或结果是全部数字的或。