行列式的线性性质（仅限于单一行的加法拆分）

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行列式的线性性质（加法拆分）

这个性质说的是：如果行列式的某一行（或某一列）的所有元素都可以表示为两个数的和，那么这个行列式可以拆分成两个行列式的和。

数学表述

如何理解这个性质？

1. 从行列式的定义出发

行列式的定义是基于排列的求和：

det

⁡

(

A

)

=

∑

σ

∈

S

n

sgn

(

σ

)

∏

k

=

1

n

a

k

,

σ

(

k

)

\\det(A) = \\sum_{\\sigma \\in S_n} \\text{sgn}(\\sigma) \\prod_{k=1}^n a_{k,\\sigma(k)}

det(A)=σ∈Sn​∑​sgn(σ)k=1∏n​ak,σ(k)​

如果某一行（如第

i

i

i 行）的元素可以写成

a

i

j

=

b

i

j

+

c

i

j

a_{ij} = b_{ij} + c_{ij}

aij​=bij​+cij​， 那么在计算行列式时，每一项都会包含

b

i

j

b_{ij}

bij​ 或

c

i

j

c_{ij}

cij​，因此可以拆分成两个行列式的和。

2. 几何直观

行列式表示的是矩阵列向量（或行向量）张成的“有向体积”。 如果某一行（列）可以拆分成两个部分，那么整个体积可以看作是两部分体积的叠加。

例子（2D 情况）

设行列式：

D

=

∣

a

b

+

b

′

c

d

+

d

′

∣

D = \\begin{vmatrix} a & b + b' \\\\ c & d + d' \\end{vmatrix}

D=

​ac​b+b′d+d′​

​

它可以拆分为：

D

=

∣

a

b

c

d

∣

+

∣

a

b

′

c

d

′

∣

D = \\begin{vmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{vmatrix} + \\begin{vmatrix} a & b' \\\\ c & d' \\end{vmatrix}

D=

​ac​bd​

​+

​ac​b′d′​

​

几何上：

• 第一个行列式计算的是向量 $\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$
• 第二个行列式计算的是向量 $\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$
• 总和就是两个平行四边形面积的叠加。

3. 线性性质的表现

行列式对单一行（列）是线性的，即：

为什么不能拆多行或多列？

行列式的线性性质 仅适用于单一行（或列） 的拆分。

总结

• 性质：如果行列式的某一行（或某一列）的所有元素都可以表示为两个数的和，则该行列式可以拆分成两个行列式的和。

• 原因：

  • 从定义看，行列式对单一行（列）是线性的。 仅适用于单一行（或列） 的拆分。
  • 从几何看，拆分行（列）相当于将体积拆分为两部分的和。

• 限制：只能拆单一行或单一列，不能同时拆多行或多列。

这个性质在行列式的计算和证明中非常有用，可以简化复杂行列式的求解。