考研数学-高中数学回顾函数的微分day8(完结)

一、微分的定义

1. 核心概念

背景： 微分是研究函数增量 $\Delta y$ 的线性主部。

• 实例： 正方形面积 $S=x^2$，边长增加 $\Delta x$。
  $$\Delta S=(x+\Delta x{)}^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x{)}^2$$
  当 $\Delta x\to 0$ 时，$(\Delta x{)}^2$ 是高阶无穷小，可忽略。线性主部 $2x\Delta x$ 即为微分。

严格定义：
若函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的增量可表示为：
$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$$
其中 $A$ 与 $\Delta x$ 无关，$o(\Delta x)$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微。

• 微分记号： $dy=A\Delta x$
• 自变量微分： 规定 $dx=\Delta x$，故 $dy=Adx$

二、微分与导数的关系

1. 一元函数：可微 $⟺$ 可导

核心公式：
$$dy=f^{\prime }(x)dx$$

⚠️ 易错点： 计算微分时，必须写上 $dx$，否则不得分（类似于不定积分漏写 $+C$）。

2. $\Delta y$ 与 $dy$ 的关系

当 $\Delta x\to 0$ 时：

几何意义与大小比较：

• $dy$ 是切线上的纵坐标增量。
• $\Delta y$ 是曲线上的纵坐标增量。
• 大小关系取决于凹凸性：
  • 凹函数 ($f^{\prime \prime }>0$)： 曲线在切线上方 $⟹\Delta y>dy$
  • 凸函数 ($f^{\prime \prime }<0$)： 曲线在切线下方 $⟹\Delta y<dy$

三、微分的运算法则

1. 基本公式（对应导数公式）

记忆技巧：在导数公式后直接乘以 $dx$。

双向应用：

• 从左到右：求微分。
• 从右到左：凑微分法（积分学核心基础），如 $\cos xdx=d(\sin x)$。

2. 四则运算与复合函数

• 加减： $d(u\pm v)=du\pm dv$
• 乘法： $d(uv)=vdu+udv$
• 除法： $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$
• 复合函数（微分形式不变性）：
  若 $y=f(u),u=g(x)$，则：
  $$dy=f^{\prime }(u)du=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)dx$$
  无论 $u$ 是中间变量还是自变量，形式 $dy=f^{\prime }(u)du$ 始终成立。

四、典型题型与解法

1. 直接求微分

步骤： 先求导 $f^{\prime }(x)$，再乘以 $dx$。

例题： 求 $y=x\sin 2x$ 的微分。
$$dy=(x^{\prime }\sin 2x+x(\sin 2x{)}^{\prime })dx=(\sin 2x+2x\cos 2x)dx$$

2. 代入数值求微分

注意： 仅替换导数部分中的 $x$，不可替换 $dx$ 中的变量。

例题： 设 $y=\ln x$，求 $x=\pi$ 时的微分。
$$dy=\frac{1}{x}dx⟹dy{|}_{x=\pi }=\frac{1}{\pi }dx$$
(❌ 错误写法：$d\pi$ 或 $0$)

3. 隐函数求微分

方法： 方程两边同时求全微分 $d(\cdot )$，然后解出 $dy$。

例题： 由 $x^2+y^2=1$ 求 $dy$。

4. 参数方程求微分

若 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$，则：
$$dy=\frac{dy}{dx}dx=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}{\phi }^{\prime }(t)dt={\psi }^{\prime }(t)dt$$
(注：通常先求 $\frac{dy}{dx}$ 再乘 $dx$，或者直接对 $y$ 关于 $t$ 求导后整理)

五、微分的几何应用

近似计算

利用 $dy\approx \Delta y$，即 $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x$。

例题： 计算 $\sqrt[3]{1.02}$ 的近似值。

• 令 $f(x)=\sqrt[3]{x}$，$x_0=1$，$\Delta x=0.02$。
• $f(1)=1$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^{-2/3}⟹f^{\prime }(1)=\frac{1}{3}$。
• $\sqrt[3]{1.02}\approx 1+\frac{1}{3}\times 0.02=1.0067$。

六、易错点总结