网硕互联帮助中心文章目录
- 线索栏
- 笔记栏
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- 1. IEEE浮点运算规则
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- 1）基本定义
- 2）特殊值规则
- 2. 浮点运算的代数属性
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- 1）浮点加法 (
+
f
+^f
+f) - 2）浮点乘法 (
∗
f
∗^f
∗f)
- 1）浮点加法 (
- 3. C语言中的浮点数
-
- 1）类型对应
- 2）访问特殊值
- 3）练习题2.53（定义无穷和-0）
- 4. 浮点与整数的类型转换规则
- 5. 旁注：Ariane 5 事故（1996）
- 6. 练习题2.54 （假设int为32位）
- 总结栏
线索栏
笔记栏
1. IEEE浮点运算规则
1）基本定义
对于实数运算 ⊙，浮点运算定义为 Round(x⊙y)，即对精确数学结果进行舍入。
2）特殊值规则
标准明确定义了涉及特殊值（
−
0
,
±
∞
,
N
a
N
−0, ±\\infty, NaN
−0,±∞,NaN）的运算，使其行为合理。例如： （1）
1
−
0
→
−
∞
\\frac1{−0}→−\\infty
−01→−∞ （2）
1
+
0
→
+
∞
\\frac1{+0}→+\\infty
+01→+∞ （3）
∞
−
∞
=
N
a
N
\\infty−\\infty=NaN
∞−∞=NaN （4）任何涉及
N
a
N
NaN
NaN的运算结果均为
N
a
N
NaN
NaN。
2. 浮点运算的代数属性
1）浮点加法 (
+
f
+^f
+f)
（1）可交换：
x
+
f
y
=
y
+
f
x
x+^fy=y+^fx
x+fy=y+fx。 （2）不可结合：
(
x
+
f
y
)
+
f
z
≠
x
+
f
(
y
+
f
z
)
(x+^fy)+^fz\\neq x+^f(y+^fz)
(x+fy)+fz=x+f(y+fz)。 （3）示例（单精度）：(3.14+1e10)−1e10=0.0，而 3.14+(1e10−1e10)=3.14。（几乎）存在逆元：
x
+
f
(
−
x
)
=
0
x+^f (−x)=0
x+f(−x)=0。例外是
∞
\\infty
∞和
N
a
N
NaN
NaN。 （4）满足单调性：若
a
≥
b
a≥b
a≥b，则对任意非
N
a
N
NaN
NaN的
x
x
x，有
x
+
f
a
≥
x
+
f
b
x+^fa≥x+^fb
x+fa≥x+fb。
2）浮点乘法 (
∗
f
∗^f
∗f)
（1）可交换：
x
∗
f
y
=
y
∗
f
x
x∗^fy=y∗^fx
x∗fy=y∗fx。 （2）不可结合：
(
x
∗
f
y
)
∗
f
z
≠
x
∗
f
(
y
∗
f
z
)
(x∗^fy)∗^fz\\neq x∗^f(y∗^f z)
(x∗fy)∗fz=x∗f(y∗fz)。 示例（单精度）：(1e20∗1e20)∗1e−20=+∞，而 1e20∗(1e20∗1e−20)=1e20。 （3）不满足分配律：
a
∗
f
(
b
+
f
c
)
≠
(
a
∗
f
b
)
+
f
(
a
∗
f
c
)
a∗^f(b+^fc)\\neq(a∗^fb)+^f(a∗^fc)
a∗f(b+fc)=(a∗fb)+f(a∗fc)。 示例：1e20∗(1e20−1e20)=0.0，而 (1e20∗1e20)−(1e20∗1e20)=NaN。 （4）满足单调性： 若
a
≥
b
a≥b
a≥b且
c
≥
0
c≥0
c≥0，则
a
∗
f
c
≥
b
∗
f
c
a∗^fc≥b∗^fc
a∗fc≥b∗fc。 若
a
≥
b
a≥b
a≥b且
c
≤
0
c≤0
c≤0，则
a
∗
f
c
≤
b
∗
f
c
a∗^fc≤b∗^fc
a∗fc≤b∗fc。 （5）非负性：只要
a
≠
N
a
N
a\\neq NaN
a=NaN，就有
a
∗
f
a
≥
0.0
a∗^fa≥0.0
a∗fa≥0.0。
3. C语言中的浮点数
1）类型对应
在支持IEEE的机器上，float↔ 单精度，double↔ 双精度。舍入方式默认为向偶数舍入。
2）访问特殊值
C标准不强制要求IEEE，因此访问特殊值（±∞, NaN）是编译器相关的。例如，在GCC中：
#define _GNU_SOURCE 1
#include <math.h>
// 之后可使用 INFINITY 和 NAN
3）练习题2.53（定义无穷和-0）
利用溢出到无穷的特性。 
#define POS_INFINITY (1.0/0.0) // 或 1e400
#define NEG_INFINITY (–POS_INFINITY)
#define NEG_ZERO (–0.0)
4. 浮点与整数的类型转换规则
（1）int→ float：不会溢出，但可能被舍入（精度损失）。 （2）int/float→ double：double精度更高范围更大，可保留精确值。 （3）double→ float：可能溢出为 ±∞，或因精度降低被舍入。 （4）float/double→ int： 值将向零舍入（截断）。 可能溢出，C标准未定义结果。在x86系统上，会得到“整数不确定值” TMin_w。
5. 旁注：Ariane 5 事故（1996）
（1）直接原因：64位浮点数（水平速率）转换为16位整数时发生溢出。这个溢出值被误当作有效数据发送，导致火箭失控爆炸。 （2）根本原因：代码从Ariane 4重用，但未重新验证假设。Ariane 5的速度远超Ariane 4，使原16位整数范围假设失效。 （3）教训： 对浮点到整数的转换必须进行严格的边界检查。 重用代码时，必须重新评估其前置条件和假设。 系统安全不能依赖于“理论上不会发生”的假设。
6. 练习题2.54 （假设int为32位）
总结栏
本节综合探讨了浮点数的运算规则、C语言实现及其实践教训。
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