第五篇永磁同步电机控制-数学模型

永磁同步电机控制系列课程：

第一篇永磁同步电机控制-认识电机

第二篇永磁同步电机控制-电机的分类

第三篇永磁同步电机控制-硬件基础知识

第四篇永磁同步电机控制-软件基础知识

第五篇永磁同步电机控制-数学模型

第六篇永磁同步电机控制-控制方法

第七篇永磁同步电机控制-磁场定向控制FOC

第八篇永磁同步电机控制-MTPA、MTPV

第九篇永磁同步电机控制-弱磁控制

第十篇永磁同步电机控制-SVPWM

第十一篇永磁同步电机控制-位置环、转速环、电流环PI控制

第十二篇永磁同步电机控制-PI整定

第十三篇永磁同步电机控制-死区补偿

第十四篇永磁同步电机控制-大总结 ———————————————————————————————————————————

永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM）的数学模型是分析和设计其控制系统的基础。

一、永磁同步电机的分类

1.表贴式永磁同步电机 (Surface PMSM, SPMSM)，通常 L_d ≈ L_q。 2.内置式永磁同步电机 (Interior PMSM, IPMSM)，通常 L_d < L_q，这会产生磁阻转矩。 3.永磁同步电机的关键参数： R_s: 定子电阻； L_d, L_q: d轴和q轴同步电感； ψ_f: 永磁体磁链； P: 极对数； J: 转动惯量； B: 摩擦系数

二、核心数学模型

1.理想假设：忽略磁路饱和：假设电机铁芯的磁导率为无穷大，磁路不饱和。忽略铁芯损耗：忽略定子铁芯中的涡流损耗和磁滞损耗。忽略谐波效应：假设反电动势和磁链为正弦波（理想化）。对称三相绕组：定子三相绕组在空间上对称分布，阻抗相同。永磁体等效：永磁体产生的磁场在气隙中正弦分布，可等效为一个恒定励磁电流源产生的磁场。

2.ABC三相静止坐标系

三相静止坐标系经典方程式

3、α-β两相静止坐标系三相静止坐标系通过Clark变换到两相静止坐标系。

两相静止坐标系经典方程式

4、D-Q两相旋转坐标系两相静止坐标系通过Park变换到两相旋转坐标系。

两相旋转坐标系经典方程式

三、坐标变换

ABC -> DQ

DQ -> ABC

四、等幅值变换与等功率变换

电机控制（尤其是永磁同步电机PMSM的矢量控制）中，等幅值变换 (Amplitude-Invariant Transformation) 和等功率变换 (Power-Invariant Transformation) 是两种常用的坐标变换规范。它们主要用于克拉克变换 (Clark Transformation / αβ Transformation)，将三相静止坐标系 (abc) 变换到两相静止坐标系 (αβ)。两者的核心区别在于变换后矢量的幅值是否等于原物理量的幅值，以及变换前后系统的功率是否守恒。

1. 克拉克变换 (Clark Transformation / αβ Transformation) 克拉克变换将三相变量（电压、电流、磁链）从互差120°的 abc 坐标系变换到相互垂直的 αβ 两相静止坐标系。设三相平衡变量为： i_a = I_m * cos(θ) i_b = I_m * cos(θ – 2π/3) i_c = I_m * cos(θ + 2π/3) 目标是得到两相静止坐标系中的 i_α 和 i_β。

2.等幅值变换 (Amplitude-Invariant) 核心思想：变换后 αβ 坐标系中的矢量幅值等于原三相物理量的峰值 I_m。

3.等功率变换 (Power-Invariant) 核心思想：变换前后瞬时功率保持不变。

4.两种变换的对比总结

5. 在PMSM矢量控制中的选择（1）等幅值变换更常见于实际控制器：因其信号幅值直观，便于电流环PI参数整定（例如：电流指令幅值直接等于电机允许的最大电流峰值）。（2）等功率变换更常见于理论分析：因其功率守恒特性，推导转矩方程和能量模型时无需额外系数，公式更简洁。

6.关键注意事项（1）派克变换 (Park Transformation) 通常与克拉克变换保持一致。若克拉克用等幅值，则派克变换矩阵也需用 2/3；若用等功率，则派克用 √(2/3)。整个控制链必须统一！（2）无论选择哪种变换，只要在整个控制系统（电流采样→克拉克→派克→反变换）中保持一致即可。若使用现成的库（如TI的MotorWare），需明确其采用的变换类型。（3）理解这两种变换的差异，是避免在电机控制算法调试中出现系数混乱的关键！