【数学建模】一致矩阵的应用及其在层次分析法(AHP)中的性质

一致矩阵在层次分析法(AHP)中的应用与性质

在层次分析法(AHP)中，一致矩阵是判断矩阵的一种理想状态，它反映了决策者判断的完全合理性和一致性，也就是为了避免决策者认为“A比B重要，B比C重要，但是C又比A重要”的矛盾。

本文将详细介绍一致矩阵的定义、性质及其在AHP中的重要意义。

关于层次分析法(AHP)的介绍，可以参考：【数学建模】层次分析法(AHP)详解及其应用 。

一、一致矩阵的定义

定义：设

A

=

[

a

i

j

]

n

×

n

A = [a_{ij}]_{n \\times n}

A=[aij​]n×n​是判断矩阵，如果对于任意的

i

,

j

,

k

∈

{

1

,

2

,

…

,

n

}

i, j, k \\in \\{1, 2, \\ldots, n\\}

i,j,k∈{1,2,…,n}，都有：

a

i

j

⋅

a

j

k

=

a

i

k

a_{ij} \\cdot a_{jk} = a_{ik}

aij​⋅ajk​=aik​

则称矩阵

A

A

A为一致矩阵。

这一定义表明，在一致矩阵中，元素

i

i

i对元素

k

k

k的重要性可以通过元素

i

i

i对元素

j

j

j的重要性与元素

j

j

j对元素

k

k

k的重要性的乘积来确定。

二、一致矩阵的基本性质

1. 倒数性

一致矩阵满足倒数性，即：

a

j

i

=

1

a

i

j

a_{ji} = \\frac{1}{a_{ij}}

aji​=aij​1​

这表示元素

j

j

j相对于元素

i

i

i的重要性是元素

i

i

i相对于元素

j

j

j的重要性的倒数。

2. 传递性

一致矩阵满足传递性，即：

a

i

j

⋅

a

j

k

=

a

i

k

a_{ij} \\cdot a_{jk} = a_{ik}

aij​⋅ajk​=aik​

这表示判断的传递性，是一致矩阵的定义与核心特征。

3. 秩为1

一致矩阵

A

A

A的秩

r

a

n

k

(

A

)

=

1

rank(A) = 1

rank(A)=1，即一致矩阵是一个秩1矩阵。

4. 特征值和特征向量

一致矩阵

A

A

A有且仅有一个非零特征值

λ

m

a

x

=

n

\\lambda_{max} = n

λmax​=n，对应的特征向量正是权重向量

W

W

W。其余

n

−

1

n-1

n−1个特征值均为0。

A

⋅

W

=

n

⋅

W

A \\cdot W = n \\cdot W

A⋅W=n⋅W

5. 表示形式

任意一致矩阵

A

A

A都可以表示为：

A

=

[

w

1

w

1

w

1

w

2

⋯

w

1

w

n

w

2

w

1

w

2

w

2

⋯

w

2

w

n

⋮

⋮

⋱

⋮

w

n

w

1

w

n

w

2

⋯

w

n

w

n

]

A = \\begin{bmatrix} \\frac{w_1}{w_1} & \\frac{w_1}{w_2} & \\cdots & \\frac{w_1}{w_n} \\\\ \\frac{w_2}{w_1} & \\frac{w_2}{w_2} & \\cdots & \\frac{w_2}{w_n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ \\frac{w_n}{w_1} & \\frac{w_n}{w_2} & \\cdots & \\frac{w_n}{w_n} \\end{bmatrix}

A=

​w1​w1​​w1​w2​​⋮w1​wn​​​w2​w1​​w2​w2​​⋮w2​wn​​​⋯⋯⋱⋯​wn​w1​​wn​w2​​⋮wn​wn​​​

​

其中

W

=

(

w

1

,

w

2

,

…

,

w

n

)

T

W = (w_1, w_2, \\ldots, w_n)^T

W=(w1​,w2​,…,wn​)T是权重向量。

三、一致矩阵的判定

1. 定义法判定

检验矩阵

A

A

A中的所有元素是否满足

a

i

j

⋅

a

j

k

=

a

i

k

a_{ij} \\cdot a_{jk} = a_{ik}

aij​⋅ajk​=aik​。

2. 特征值法判定

计算判断矩阵

A

A

A的最大特征值

λ

m

a

x

\\lambda_{max}

λmax​，如果

λ

m

a

x

=

n

\\lambda_{max} = n

λmax​=n，则

A

A

A为一致矩阵。

3. 一致性指标判定

计算一致性指标

C

I

CI

CI：

C

I

=

λ

m

a

x

−

n

n

−

1

CI = \\frac{\\lambda_{max} – n}{n-1}

CI=n−1λmax​−n​

如果

C

I

=

0

CI = 0

CI=0，则

A

A

A为一致矩阵。

四、一致矩阵的构造

1. 直接构造法

如果已知权重向量

W

=

(

w

1

,

w

2

,

…

,

w

n

)

T

W = (w_1, w_2, \\ldots, w_n)^T

W=(w1​,w2​,…,wn​)T，则可以直接构造一致矩阵：

a

i

j

=

w

i

w

j

a_{ij} = \\frac{w_i}{w_j}

aij​=wj​wi​​

2. 从非一致矩阵导出

对于非一致矩阵，可以通过以下步骤构造最接近的一致矩阵：

五、一致矩阵在AHP中的意义

1. 理想判断的标准

一致矩阵代表了决策者判断的完全一致性，是判断矩阵的理想状态。在实际决策过程中，由于人的认知限制，很难直接给出一致矩阵，但它是我们追求的目标。

2. 一致性检验的基础

在AHP中，通过比较实际判断矩阵与一致矩阵的差异，来评估判断的一致性程度。一致性比率

C

R

CR

CR越小，表示判断矩阵越接近一致矩阵，判断的一致性越好。

3. 权重计算的理论依据

一致矩阵的特性为AHP中权重计算提供了理论依据。对于一致矩阵，其权重向量就是对应于最大特征值的特征向量。

六、一致矩阵与非一致矩阵的关系

在实际应用中，由于决策者认知的局限性，通常得到的是非一致矩阵。非一致矩阵与一致矩阵的关系可以通过以下方式表示：

A

=

A

′

+

E

A = A' + E

A=A′+E

其中

A

A

A是实际的判断矩阵，

A

′

A'

A′是对应的一致矩阵，

E

E

E是误差矩阵。

AHP的一致性检验就是评估误差矩阵

E

E

E的大小，判断实际矩阵

A

A

A与理想一致矩阵

A

′

A'

A′的接近程度。

七、一致矩阵的数学证明示例

命题1：一致矩阵的最大特征值等于矩阵的阶数

证明： 设

A

A

A是

n

n

n阶一致矩阵，权重向量为

W

=

(

w

1

,

w

2

,

…

,

w

n

)

T

W = (w_1, w_2, \\ldots, w_n)^T

W=(w1​,w2​,…,wn​)T，则：

a

i

j

=

w

i

w

j

a_{ij} = \\frac{w_i}{w_j}

aij​=wj​wi​​

考虑

A

⋅

W

A \\cdot W

A⋅W的第

i

i

i行元素：

∑

j

=

1

n

a

i

j

⋅

w

j

=

∑

j

=

1

n

w

i

w

j

⋅

w

j

=

w

i

∑

j

=

1

n

1

=

n

⋅

w

i

\\sum_{j=1}^{n} a_{ij} \\cdot w_j = \\sum_{j=1}^{n} \\frac{w_i}{w_j} \\cdot w_j = w_i \\sum_{j=1}^{n} 1 = n \\cdot w_i

j=1∑n​aij​⋅wj​=j=1∑n​wj​wi​​⋅wj​=wi​j=1∑n​1=n⋅wi​

因此，

A

⋅

W

=

n

⋅

W

A \\cdot W = n \\cdot W

A⋅W=n⋅W，即

n

n

n是

A

A

A的特征值，对应的特征向量是

W

W

W。

又因为

r

a

n

k

(

A

)

=

1

rank(A) = 1

rank(A)=1，所以

A

A

A有且仅有一个非零特征值，即

λ

m

a

x

=

n

\\lambda_{max} = n

λmax​=n。

命题2：一致矩阵的一致性指标CI为0

证明： 由命题1可知，一致矩阵的最大特征值

λ

m

a

x

=

n

\\lambda_{max} = n

λmax​=n，因此：

C

I

=

λ

m

a

x

−

n

n

−

1

=

n

−

n

n

−

1

=

0

CI = \\frac{\\lambda_{max} – n}{n-1} = \\frac{n – n}{n-1} = 0

CI=n−1λmax​−n​=n−1n−n​=0

八、一致矩阵的实例

例1：2阶一致矩阵

A

=

[

1

2

1

2

1

]

A = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ \\frac{1}{2} & 1 \\end{bmatrix}

A=[121​​21​]

验证：

• $a_{12}\cdot a_{21}=2\cdot \frac{1}{2}=1=a_{11}$
• $a_{21}\cdot a_{12}=\frac{1}{2}\cdot 2=1=a_{22}$

权重向量：

W

=

(

2

/

3

,

1

/

3

)

T

W = (2/3, 1/3)^T

W=(2/3,1/3)T

例2：3阶一致矩阵

A

=

[

1

2

6

1

2

1

3

1

6

1

3

1

]

A = \\begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 \\\\ \\frac{1}{2} & 1 & 3 \\\\ \\frac{1}{6} & \\frac{1}{3} & 1 \\end{bmatrix}

A=

​121​61​​2131​​631​

​

验证：

• $a_{12}\cdot a_{23}=2\cdot 3=6=a_{13}$
• $a_{21}\cdot a_{13}=\frac{1}{2}\cdot 6=3=a_{23}$
• $a_{31}\cdot a_{12}=\frac{1}{6}\cdot 2=\frac{1}{3}=a_{32}$

权重向量：

W

=

(

6

/

10

,

3

/

10

,

1

/

10

)

T

W = (6/10, 3/10, 1/10)^T

W=(6/10,3/10,1/10)T

九、一致矩阵在实际决策中的应用

在实际决策过程中，一致矩阵主要有以下应用：

十、结语

一致矩阵作为层次分析法中的理想判断状态，为我们提供了评估判断一致性的标准。虽然在实际决策中很难直接得到完全一致的判断矩阵，但通过一致性检验和必要的修正，我们可以使判断矩阵尽可能接近一致矩阵，从而提高决策的科学性和合理性。

理解一致矩阵的性质和意义，对于正确应用层次分析法、提高多准则决策的质量具有重要价值。

参考文献