概率入门实例：有趣的生日悖论

1.团队中大概率会有同月同日生的人

如图1所示，一支30人的团队首次相聚。大家相聚到一起，自然会想到，会不会有人同月同日生？一般人认为这应该是小概率事件吧，毕竟一年有365天，要想两个人在同一天生日，这纯属巧合吧？然而，这却是一个大概率事件。要想打好概率统计基础，大家可以参见清华大学出版社的《人人可懂的概率统计》。

图1 团队中有人同一天生日吗？ 以"至少两人同月同日生"为事件A。那可以是2人同月同日生，也可以3人同月同日生

⋯

⋯

\\cdots\\cdots

⋯⋯。经计算，一支30人的团队中，"至少两人同月同日生"的概率约为0.7063；一支50人的团队中，"至少两人同月同日生"的概率约为0.9704；一支70人的团队中，"至少两人同月同日生"的概率约为0.9992。概率值越接近于1,可能性就越大；值为1时表示是必然事件。可见，该事件真的是大概率事件，在70人的团队中该事件已接近于必然。 这个事件的概率值是怎么计算出来的呢？下面给出思考和计算过程。由于部分知识还没学习过，如果没看懂，以下内容可先跳过。可在后续学过相关知识后再回头来阅读。 我们用逆向思维来思考，“至少两人同月同日生"的逆向事件就是"所有人都不在同一天过生日”。一个30人的团队，要生日均不同，就是要用365天中选出30个日子来做组合；如果没有生日约束，则30个人的生日总的可能性数量就是

365

30

365^{30}

36530种。据此，可计算出：

P

(

A

)

=

1

−

C

365

30

365

30

≈

0.7063

P(A) = 1 – \\frac{\\mathbf{C}_{365}^{30}}{365^{30}} \\approx 0.7063

P(A)=1−36530C36530​​≈0.7063 同理，可求出在50人的团队中：

P

(

A

)

=

1

−

C

365

50

365

50

≈

0.9704

P(A) = 1 – \\frac{\\mathbf{C}_{365}^{50}}{365^{50}} \\approx 0.9704

P(A)=1−36550C36550​​≈0.9704 在70人的团队中：

P

(

A

)

=

1

−

C

365

70

365

70

≈

0.9992

P(A) = 1 – \\frac{\\mathbf{C}_{365}^{70}}{365^{70}} \\approx 0.9992

P(A)=1−36570C36570​​≈0.9992

2.解开困惑：能绕开头疼的概率公式不学习吗？

**（1）学生问：**老师，刚才您举的应用场景里，感觉事件的选项数除以总的选项数，就可以得到事件的概率，对吗？ **简要回答：**可以这么理解。后续学习更多的术语后，可再用术语来表达。要想打好概率统计基础，大家可以参见清华大学出版社的《人人可懂的概率统计》。 **（2）学生问：**老师，我比较害怕概率计算的公式，看着就头疼，能绕开不？ **简要回答：**建议不要绕开。其实并不可怕。其一，我们可将事件之间的关系运算转化成集合的关系运算，就会觉得容易许多。其二，觉得难的原因不一定是公式本身，有可能是对应用场景的理解有困难，可多做练习强化理解。其三，概率计算涉及的符号、公式并不算多，提倡用图形来理解，可以使公式更为形象。要想打好概率统计基础，大家可以参见清华大学出版社的《人人可懂的概率统计》。 **（3）学生问：**老师，概率就是事件吗？两者有什么关联关系？ **简要回答：**概率和事件是两个不同的术语。概率用来量化表达事件发生的可能性。事件常用具体的应用场景，并且常用集合表示事件发生的结果集，是一个集合。概率是一个位于[0,1]的数字。