被选定的频率：如何通过指定图像频率特性设计图像滤波器

工作以来基本没有使用相关数字信号处理的知识，因此以下旨在打通图像处理中图像频率和滤数字波器设计之间的通路。至于数学推导方面不一定正确，仅仅是理顺整个通路而已，仅作参考。详细的滤波器设计细节还需要学习使用相关的数字信号处理方面的知识。

人物 :

小明：学生，刚接触图像滤波、AF 对焦算法

老李：老师，深入浅出，擅长用提问引导思考

老李：小明同学，秋高气爽，丹桂飘香，这种天气十分适合学习新的知识呀！那我们今天开始设计一个滤波器吧。这个滤波器主要用来检测图像的中频信息，那么，如何设计这样的一个滤波器呢？

小明：老师，中频信息…… 我只知道图像有亮有暗，中频是什么？

老李：很好，先从最朴素的地方开始。你看一张图片，有的地方一大片慢慢变亮变暗，有的地方是清晰的边缘，有的地方是密密麻麻的细纹路。你觉得，哪种变化 “慢”，哪种变化 “快”？

小明：大片慢慢变的肯定慢，密密麻麻的细纹路肯定快。

老李：对。“慢” 就是低频，“快” 就是高频。在图像里，我们不用时间，用像素。一个亮暗循环，占多少像素，就叫空间周期 Tp。

小明：周期？比如 3 个像素亮暗一轮，就是 Tp=3？

老李：完全正确。反过来，空间频率 fsp = 1 / Tp。周期越大，频率越低；周期越小，频率越高。

老李：那我问你： Tp=8px、Tp=5px、Tp=3px，哪个低频，哪个高频？

小明：8 最大，最慢，是低频；3 最小，最快，是高频。

老李：非常准。现在给你一个工程上最常用、最稳定的划分：

低频：Tp ≥ 8px，大块明暗、慢变化
中频：4px ≤ Tp ＜ 8px，清晰边缘、轮廓
高频：2.5px ≤ Tp ＜ 4px，细密纹理

小明：为什么是这几个数？不是随便分的吗？

老李：不是随便分。背后有四条铁律：

采样定理：一个周期至少要 2 个像素

镜头光学：频率越高，越模糊、越弱

噪声分布：噪声集中在高频

AF 需求：中频最稳、最准、伪峰最少

所以中频 4~8px，是 AF 的黄金频段。

老李：现在回到你最开始的问题：我们要做一个带通滤波器，只让中频通过。你先想：带通要做哪两件事？

小明：让想要的进来，不想要的挡住。

老李：太对了。

想通过：中频（4~8px）
想挡住：低频大块亮度、高频噪声

老李：我们先做最简单、最稳、最适合图像的：5 抽头 FIR 带通。 FIR 是什么意思，你不用先背定义，记住一句话：

FIR = 滑动窗口加权平均，没有递归，永远稳定。

小明：5 抽头，就是一次看 5 个像素？

老李：是。 x [n-4], x [n-3], x [n-2], x [n-1], x [n] 连续 5 个像素，乘 5 个系数，加起来，就是输出。

小明：老师，我知道带通就是放行中频，压制低频大块明暗与高频噪声。前面我们提到 5 抽头 FIR：滑动窗口加权、没有递归、永远稳定。但我还是好奇：给定指定中频区间，这 5 个系数 (h[0],h[1],h[2],h[3],h[4]) 到底怎么数学算出来，而不是直接拿来现成一组？不过在往下推导之前，我有个概念总容易混淆：什么是像素周期、什么是空间频率？图像里的采样限制是什么？

老李：问得非常好，所有图像滤波器设计，根基就在这里，我们先把地基打牢。在图像一维空域上：

像素周期 (T_p) ：一个完整明暗条纹周期所占的像素数量，单位 px。

空间频率 $(f_{sp})$ ：每一个像素内包含多少个完整明暗周期，单位 cycle/px。

二者是倒数关系：

$(\\boldsymbol{f_{sp}=\\frac{1}{T_p}})$

老李：我们把图像空域纹理：低频、中频、高频给讲清楚。对于普通数字图像，以像素为采样单元，行业工程上一般这样划分：

纹理类型像素周期

空间频率 $(f_{sp}=1/T_p)$ 图像直观含义

低频纹理	$(T_p>8\\ \\mathrm{px})$	$(0< f_{sp} < 0.125\\ \\mathrm{cycle/px})$	大块明暗、大面积渐变、画面光照漂移、大物体轮廓；变化很平缓，像素之间差异很小。直流分量属于极端低频， $(T_p\\rightarrow \\infty ,f_{sp}=0)$ 。
中频纹理	$(4\\ \\mathrm{px}\\le T_p \\le8\\ \\mathrm{px})$	$(0.125 \\le f_{sp}\\le0.25\\ \\mathrm{cycle/px})$	物体边缘、中等粗细的纹理、对焦评价最关心的细节；AF 对焦主要依靠这一部分信息。这正是我们本次带通滤波器要保留的信号。
高频纹理	$(2\\ \\mathrm{px}\\le T_p<4\\ \\mathrm{px})$	$(0.25 < f_{sp}\\le0.5\\ \\mathrm{cycle/px})$	细密颗粒、传感器噪声、摩尔纹、极细毛刺；很多是噪声，我们带通滤波器需要把这一部分抑制掉。极限高频就是奈奎斯特极限 $(T_p=2\\mathrm{px},\\ f_{sp}=0.5\\ \\mathrm{cycle/px})$ 。

老李：记住这个规律：

周期越大 → 纹理越粗 → 空间频率越低；
周期越小 → 纹理越细密 → 空间频率越高。

小明：那奈奎斯特采样定理放到图像像素上该怎么理解？

老李：记住一句大白话：要想完整采集一个周期性条纹，一个完整周期内至少要有 2 个采样点（像素）。如果一个明暗周期刚好只占 2 个像素：亮像素、暗像素，完成一次完整明暗振荡。

$(T_p=2\\ \\mathrm{px})$

对应的空间频率：

$(f_{sp}=\\frac{1}{T_p}=0.5\\ \\mathrm{cycle/px})$

这就是这套采样（每个像素 1 个采样点）能够分辨的最高空间频率，也就是奈奎斯特极限。

$(T_p=2\\ \\mathrm{px}\\implies f_{sp}=0.5\\ \\mathrm{cycle/px})$ ，图像能表示的极限高频；小于 2 像素周期的条纹，图像采样无法正确表达，直接发生混叠；
$(T_p\\to\\infty)$ ，整张画面亮度不变， $(f_{sp}=0)$ ，就是直流分量，大块均匀明暗，属于低频；
我们本次目标中频：周期 $(4\\sim8\\ \\mathrm{px})$ ，换算：

$(T_p=8\\ \\mathrm{px}\\Rightarrow f_{sp}=\\frac18=0.125\\ \\mathrm{cycle/px},\\quad T_p=4\\ \\mathrm{px}\\Rightarrow f_{sp}=\\frac14=0.25\\ \\mathrm{cycle/px})$

正好夹在低频与高频中间，是图像中频，也是自动对焦最依赖的细节频段。

小明：明白了！周期越大，条纹越粗，空间频率越低；周期越小，条纹越细密，空间频率越高；细到一个周期只有 2 个像素，就到图像能分辨的天花板了，再细就会发生混叠。低频是大块亮度，中频是边缘纹理，高频很多是噪声。

老李：完全正确。有了这个基础，我们继续滤波器推导。目标通带空间频率 $(f_{sp}\\in[0.125,\\ 0.25]\\ \\mathrm{cycle/px})$ ，对应数字角频率

$(\\omega=2\\pi f_{sp})$

请你写出通带的上下角频率 $(\\omega_L\\),\\(\\omega_H)$ 。

小明：代入公式： $(\\omega_L=2\\pi\\cdot 0.125=\\dfrac{\\pi}{4}\\ \\mathrm{rad})(\\omega_H=2\\pi\\cdot 0.25=\\dfrac{\\pi}{2}\\ \\mathrm{rad})$ 。

老李：正确。理想带通滤波器，只允许 $(\\omega_L\\le|\\omega|\\le\\omega_H)$ 完全通过，其余频率增益为 0。先回忆理想连续‑时间带通的脉冲响应，再映射到离散空域。理想带通的单位脉冲响应（无限长）：

$(h_{ideal}[n]=\\frac{\\sin\\big(\\frac{\\mathrm{BW}}{2}\\,n\\big)}{\\pi n}\\cdot \\cos(\\omega_c\\,n),\\quad n\\neq 0\\) \\(h_{ideal}[0]=\\frac{\\mathrm{BW}}{\\pi})$

其中：

通带带宽： $(\\mathrm{BW}=\\omega_H-\\omega_L)$
通带中心角频率： $(\\omega_c=\\dfrac{\\omega_L+\\omega_H}{2})$

小明：那代入我们中频目标， $(\\mathrm{BW})$ 与 $(\\omega_c)$ 等于多少？

老李：你来算。

小明：

$(\\mathrm{BW}=\\frac{\\pi}{2}-\\frac{\\pi}{4}=\\frac{\\pi}{4}\\) \\(\\omega_c=\\frac{1}{2}\\left(\\frac{\\pi}{4}+\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\frac{3\\pi}{8}\\ \\mathrm{rad})$

老李：完全对。现在理想 $(h_{ideal}[n])$ 是无限长，而我们只允许5 个抽头。

FIR 窗函数法核心思想：拿一个窗口，把无限长理想响应 “截取” 出有限个点，作为我们 FIR 系数。

5 抽头，奇数长度(N=5)，对应对称中心化下标 (n=-2,-1,0,1,2)，之后再整体右移 2 得到因果下标 (0,1,2,3,4)。

中心化索引：(n=-2,-1,0,1,2)，代入理想公式：

$(\\begin{aligned} h_{ideal}[0]&=\\frac{\\mathrm{BW}}{\\pi}=\\frac{\\pi/4}{\\pi}=0.25\\\\ h_{ideal}[1]&=\\frac{\\sin(\\mathrm{BW}/2\\cdot 1)}{\\pi\\cdot 1}\\cos(\\omega_c\\cdot 1) =\\frac{\\sin(\\pi/8)}{\\pi}\\cos\\left(\\frac{3\\pi}{8}\\right)\\\\ h_{ideal}[2]&=\\frac{\\sin(\\mathrm{BW}/2\\cdot 2)}{\\pi\\cdot 2}\\cos(\\omega_c\\cdot 2) =\\frac{\\sin(\\pi/4)}{2\\pi}\\cos\\left(\\frac{3\\pi}{4}\\right) \\end{aligned})$

由于理想带通是实偶函数： $(h_{ideal}[-n]=h_{ideal}[n])$ 。

小明：我算数值： $(\\sin(\\pi/8)\\approx0.3827,\\ \\cos(3\\pi/8)\\approx0.3827\\) \\(h_{ideal}[1]=\\dfrac{0.3827\\cdot 0.3827}{\\pi}\\approx 0.0465)$

$(\\sin(\\pi/4)\\approx0.7071,\\ \\cos(3\\pi/4)=-0.7071\\) \\(h_{ideal}[2]=\\dfrac{0.7071\\cdot(-0.7071)}{2\\pi}\\approx -0.0796)$

中心化理想 5 点： $(n=-2:-0.0796,\\ n=-1:0.0465,\\ n=0:0.25,\\ n=1:0.0465,\\ n=2:-0.0796)$ 。再右移 2 变成因果抽头 (k=0,1,2,3,4)：

$(h[0]=-0.0796,\\ h[1]=0.0465,\\ h[2]=0.25,\\ h[3]=0.0465,\\ h[4]=-0.0796)$

老李：很好。现在我们做关键校验：直流增益 $(H(e^{j0}))$ ，也就是所有系数之和。

$(\\sum h[k] = -0.0796+0.0465+0.25+0.0465-0.0796 = 0.1838)$

小明，带通滤波器直流应该是多少？直流对应的空间频率是多少？

小明：直流 $(f_{sp}=0)$ ，对应周期无穷大，整张画面亮度均匀，属于极端低频。带通要滤除直流大块亮度，直流增益必须等于 0， $(\\boldsymbol{\\sum h[k]=0})$ 。现在不等于 0，说明直接截断理想滤波器得到的系数不能直接用在图像 AF。

老李：一针见血。这就是窗函数法短抽头下的现实困境：直接截取理想响应，不能天然满足直流置零约束；5 抽头自由度非常少，你不可能同时完美复刻理想矩形带通 + 强制直流为 0。

5‑tap、奇数、想要线性相位，必须取I 类线性相位（对称）：

$(h[k]=h[4-k],\\quad k=0,1,2,3,4)$

即 $(h[0]=h[4],\\ h[1]=h[3])$ ，只有三个自由变量： $(h_0=h[0],\\ h_1=h[1],\\ h_2=h[2])$ 。

传递函数：

$(H(z)=h_0+h_1 z^{-1}+h_2 z^{-2}+h_1 z^{-3}+h_0 z^{-4})$

代入单位圆 $(z=e^{j\\omega})$ ：

$(H(e^{j\\omega}) =e^{-j2\\omega}\\Big[ h_2 + 2h_1\\cos\\omega + 2h_0\\cos2\\omega \\Big])$

小明： $(e^{-j2\\omega})$ 是相位项，幅值只由括号里面实函数决定：

$(A(\\omega)=h_2 + 2h_1\\cos\\omega + 2h_0\\cos2\\omega)$

相位就是固定延迟 $(-2\\omega)$ ，全部频率统一延迟 2 像素，线性相位，边缘位置不会偏移，适合 AF。

老李：没错。现在加上带通硬性约束：直流增益为 0， $(\\boldsymbol{A(0)=0}\\). \\(\\omega=0,\\ \\cos0=1,\\ \\cos2\\cdot0=1)$ ：

$(A(0)=h_2+2h_1+2h_0 = 0 \\implies \\boldsymbol{h_2 = -2(h_0+h_1)})$

把 (h_2) 消掉，幅值函数只剩下两个自由度 (h_0,h_1) ：

$(A(\\omega)= -2(h_0+h_1)+2h_1\\cos\\omega + 2h_0\\cos2\\omega)$

5 抽头对称 I 类 FIR 带通，数学上就只有两个可调参数，你不能随心所欲任意塑造幅频，这是硬件短窗口的固有局限。

老李：我们的目标：让 $(|A(\\omega)|)$ 在中频区间 $(\\omega\\in[\\pi/4,\\ \\pi/2])$ 取最大值；

$(\\omega\\to0)$ ：对应低频 $(T_p>8\\mathrm{px})$ 大块亮度），要压低；
$(\\omega\\to\\pi)$ ：对应奈奎斯特极限高频 $(T_p=2\\mathrm{px})$ 噪声），也要尽量压低。

为简化硬件实现，优先寻找整数系数解，方便定点硬件 MAC 运算。把 $(A(\\omega))$ 整理，代入三角恒等式 $(\\cos2\\omega=2\\cos^2\\omega-1)$ ：

$(\\begin{aligned} A(\\omega) &=-2h_0-2h_1 +2h_1\\cos\\omega + 2h_0(2\\cos^2\\omega-1)\\\\ &=4h_0\\cos^2\\omega + 2h_1\\cos\\omega -4h_0-2h_1 \\end{aligned})$

小明：现在就是两个参数 (h_0,h_1) ，求使 $(A(\\omega))$ 峰值落在中频。前面工程例子 $(h_0=-1,\\ h_1=2)$ ，那 (h_2=-2(-1+2)=-2) ？不对，之前的例子 h2 是 0。

老李：我们代入实例 $(h_0=-1,\\ h_1=2)$ ，则

(h_2=-2(h_0+h_1)=-2(-1+2)=-2)

那完整系数是([-1,2,-2,2,-1])。但之前用的是([-1,2,0,2,-1])，这组满足 (h_2=0) ，此时回代约束 (h_2=-2(h_0+h_1)) ：

$(0=-2(h_0+h_1)\\implies h_1=-h_0)$

这是在两个自由度上再施加一个额外条件 (h_2=0) ，只剩一个自由度。

令 $(h_0=-k,\\ h_1=+k)$ ，k为缩放常数：

$(h=\\big[-k,\\ +k,\\ 0,\\ +k,\\ -k\\big])$

取(k=2得到整数： $(\\boldsymbol{h=[-1,\\ 2,\\ 0,\\ 2,\\ -1]})$ 。现在把 $(h_0=-1,\\ h_1=2,\\ h_2=0)$ 代入幅值函数：

$(A(\\omega)=0 + 2\\cdot 2\\cos\\omega + 2\\cdot(-1)\\cos2\\omega =4\\cos\\omega-2\\cos2\\omega)$

老李：求峰值位置，对 $(\\omega)$ 求导找极值点。
$(\\frac{dA}{d\\omega}= -4\\sin\\omega +4\\sin2\\omega\\) \$\\sin2\\omega=2\\sin\\omega\\cos\\omega\$ \\(\\frac{dA}{d\\omega}= -4\\sin\\omega +8\\sin\\omega\\cos\\omega =4\\sin\\omega\\big(-1+2\\cos\\omega\\big))$

令导数等于 0，找非零解 $(\\sin\\omega\\neq0)$ ：

$(-1+2\\cos\\omega=0 \\implies \\cos\\omega=\\frac12\\) \\(\\boldsymbol{\\omega_{peak}=\\frac{\\pi}{3}\\approx 1.047\\ \\mathrm{rad}})$

小明：那换算空间频率与周期：

$(f_{sp,peak}=\\frac{\\omega_{peak}}{2\\pi}= \\frac{\\pi/3}{2\\pi}=\\frac16\\approx 0.1667\\ \\mathrm{cycle/px}\\) \\(T_{p,peak}=\\frac{1}{f_{sp,peak}}=6\\ \\mathrm{px})$

正好落在我们指定中频区间 $(4\\sim8\\mathrm{px})$ 的中间，大于 2px，满足奈奎斯特条件，不会出现混叠。

老李：对。这就是这组经典 5 抽头 FIR 系数完整数学来源。 $(T_p=4\\mathrm{px})$

它不是凭空试出来的，是在：

5 抽头；

I 类对称线性相位（保证 AF 边缘不偏移）；

强制直流增益 = 0（滤除大块亮度漂移，抑制低频）；

附加条件

简化硬件计算；这些约束下，解析求出的峰值落在 6px 中频的整数解。

小明：那我现在想换一个指定中频，比如我希望峰值放在，也就是 $(f_{sp}=0.25\\ \\mathrm{cycle/px}\\),\\(\\omega_{peak}=\\pi/2)$ ，那我怎么求 5 抽头对称 FIR 系数？

老李：很好，这就回到 “给定目标中频，怎么设计 5‑tap FIR” 通用流程，我们把完整流程梳理出来。

给定目标中频，设计 5 抽头对称 FIR 带通完整流程（理论）

前置基础回顾 :

1. 像素周期 (T_p) ：一个明暗条纹周期占多少像素；

2. 空间频率 $(f_{sp}=\\dfrac{1}{T_p})$ ，单位 cycle/px；

3. 图像空域纹理划分

低频： $(T_p>8\\mathrm{px},\\ f_{sp}<0.125\\ \\mathrm{cycle/px})$ ，大块明暗光照；
中频： $(4\\mathrm{px}\\le T_p\\le8\\mathrm{px},\\ 0.125\\le f_{sp}\\le0.25\\ \\mathrm{cycle/px})$ ，边缘与对焦细节；
高频： $(2\\mathrm{px}\\le T_p<4\\mathrm{px},\\ 0.25<f_{sp}\\le0.5\\ \\mathrm{cycle/px})$ ，细纹理、噪声； 4. 奈奎斯特极限：最小可分辨周期\$T_p=2\\ \\mathrm{px}\$，对应最高空间频率 $(f_{sp}=0.5\\ \\mathrm{cycle/px})$ ；任何设计的滤波器有效通带，必须大于 2px，否则发生混叠。

已知目标峰值空间周期 $(T_{p,\\mathrm{target}})$

计算目标峰值空间频率： $(f_{sp,\\mathrm{peak}}=\\frac{1}{T_{p,\\mathrm{target}}})$

奈奎斯特校验：必须满足 $(f_{sp,\\mathrm{peak}} < 0.5\\ \\mathrm{cycle/px})$ ，等价 $(T_{p,\\mathrm{target}}>2\\ \\mathrm{px})$ ，否则超出图像采样分辨能力；同时确认目标属于你需要的低 / 中 / 高频区间。

换算目标峰值角频率： $(\\omega_{\\mathrm{peak}}=2\\pi f_{sp,\\mathrm{peak}})$

5 抽头 I 类对称 FIR 幅值： $(A(\\omega)=h_2+2h_1\\cos\\omega+2h_0\\cos2\\omega)$

约束 1（带通滤直流，抑制低频）： $(A(0)=h_2+2h_1+2h_0=0 \\Rightarrow h_2=-2(h_0+h_1))$ 5. 把 (h_2) 消去，得到只含 (h_0,h_1) 的 $(A(\\omega))$ ；

6. 要求： $(\\omega=\\omega_{\\mathrm{peak}})$ 处取极大，导数 $(\\dfrac{dA}{d\\omega}\\Big|_{\\omega=\\omega_{\\mathrm{peak}}}=0)$ ；

7. 上面得到一个方程；但有两个未知数 (h_0,h_1) ；解是一族成比例的解，整体缩放不改变滤波器形状；

8. 缩放为整数，适合定点硬件；

9. 校验幅频响应：检查低频 $(\\omega=0)$ 、高频 $(\\omega=\\pi)$ 的增益，看通带是否落在目标纹理频段；

10. 注意：5 抽头自由度极少，无法做到理想矩形带通，过渡带天然很宽，不能实现极窄带；想要窄带，必须增加抽头，或者改用 IIR 滤波器。

老李：小明，你再对比一下：窗函数直接截断理想滤波器得到的那一组浮点系数，和我们带约束解析求解得到的整数([-1,2,0,2,-1])有什么差别？

小明：直接截断理想的，没有强制 $(\\sum h[k]=0)$ ，低频直流没有被抑制，图像上大块明暗漂移会直接输出大的 FV 值，AF 会被画面整体亮度干扰。解析求解是在滤波器数学模型上施加图像 AF 的物理约束（直流必须归零、线性相位），再求参数，更贴合工程需求。

老李：非常到位。这里还要区分一个认知：

窗函数法是通用 FIR 设计手段，但抽头数目很少的时候，你不能完全依赖它。因为短抽头下，理想带通的约束和工程约束（直流置零）会互相冲突，此时要把工程约束写进方程做约束优化 / 解析求解。

另外再回到 FIR 与 IIR 的本质差异，呼应前面我们学的零极点知识：小明，FIR 传递函数全部是z的负幂次，只有零点，没有极点。

$(H(z)=h_0+h_1 z^{-1}+h_2 z^{-2}+h_1 z^{-3}+h_0 z^{-4} =z^{-4}\\big(h_0 z^4+h_1 z^3+h_2 z^2+h_1 z+h_0\\big))$

全部极点都固定在(z=0)，永远在单位圆内部，所以 FIR 天然稳定。而 IIR 带通是引入单位圆内部共轭极点，靠极点抬升通带增益，零点压制直流低频与奈奎斯特高频 $T_p=2\\mathrm{px}$ 那一端），用极少阶数实现尖锐带通，代价是非线性相位，有稳定性风险。

小明：老师，我还有个疑问：那如果我不做对称，5 个抽头全部自由，是不是就可以更加逼近理想中频带通？

老李：数学上幅频可以做得更好。但代价是非线性相位。不同空间频率分量的信号经过滤波器，延迟像素数不一致；图像边缘是多频率叠加信号，输出波形会发生畸变，FV 能量峰值位置会偏移、漂移。对 AF 对焦评价函数，峰值位置的可靠性优先级高于幅频的一点点优化，因此我们宁愿牺牲一部分幅频选择性，强制对称换取线性相位。

总结 5 抽头 FIR 设计的核心权衡：抽头数量越少，自由度越低，越难以实现陡峭的带通； AF 场景优先锁死 “对称‑线性相位、直流置零（抑制低频）” 两大约束，再求解系数； 5 点 FIR 只能做到 “宽泛的中频选择”，想要窄带，要么增加 FIR 抽头，切换为高阶 FIR；要么改用 IIR，使用零极点配置法，极点角度对应目标空间频率（换算：\$\\omega=2\\pi / T_p\$），极点半径控制带宽 Q 值。

老李：我们做个小复盘，请你口述一遍完整链路：给定指定中频区间，5 抽头 FIR 设计步骤？

小明：

分清图像空域低、中、高频纹理，明确目标对应的像素周期 (T_p)

；

利用 $(f_{sp}=1/T_p)$ 把像素周期换算为空间频率；利用奈奎斯特采样定理校验：目标周期必须大于 2px，不能超过图像分辨上限；

换算成数字角频率 $(\\omega=2\\pi f_{sp})$ ，同时确认通带全部小于奈奎斯特 $(\\pi)$ ；

选定 I 类对称 FIR 保证线性相位，用于 AF 防止边缘偏移；

施加带通约束：直流增益为 0，抑制低频大块亮度，减少画面整体亮度对 FV 的干扰；

代入 5 抽头对称 FIR 的解析幅值表达式，求导令目标角频率处导数为 0，得到参数之间的关系；

缩放系数为整数便于硬件定点；

校验幅频响应；认识到 5 抽头过渡带宽的固有局限，若需要更窄通带则增加抽头或切换 IIR 零极点方案。

老李：很好。到此，从图像纹理频段划分、像素周期‑空间频率基础概念、奈奎斯特图像采样限制，到目标中频，到数学推导、约束建立、解析求极值、工程权衡，整条链路就完整打通了。

被选定的频率：如何通过指定图像频率特性设计图像滤波器

给定目标中频，设计 5 抽头对称 FIR 带通完整流程（理论）

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