不动域和伽罗瓦对应 - 网硕互联帮助中心

参考

分圆方程x^17-1=0的解法.csdn

域上的自同构

设

$L$ 是一个域。

如果映射：

⟶

\\sigma:L\\longrightarrow L

$σ : L ⟶ L$

满足：

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

\\boxed{ \\begin{aligned} \\sigma(a+b)&=\\sigma(a)+\\sigma(b)\\\\ \\sigma(ab)&=\\sigma(a)\\sigma(b)\\\\ \\end{aligned} }

$σ (a + b) σ (ab) = σ (a) + σ (b) = σ (a) σ (b)$

并且

\\sigma

$σ$ 是双射，则称

\\sigma

$σ$ 是

$L$ 的一个自同构。

记所有自同构组成的群为：

Aut

⁡

(

)

{

→

∣

是

的自同构

}

\\boxed{\\operatorname{Aut}(L) =\\{\\sigma:L\\to L\\mid \\sigma\\text{ 是 }L\\text{ 的自同构} \\} }

$Aut (L) = {σ : L \to L ∣ σ 是 L 的自同构}$

其中群运算为映射的复合。

自同构保持域运算

对于任意

∈

a,b\\in L

$a, b \in L$ ，有：

(

−

)

(

)

−

(

)

\\boxed{ \\sigma(a-b)=\\sigma(a)-\\sigma(b) }

$σ (a - b) = σ (a) - σ (b)$

(

)

(

)

(

)

\\boxed{ \\sigma(ab)=\\sigma(a)\\sigma(b) }

$σ (ab) = σ (a) σ (b)$

当

≠

b\\neq0

$b \neq = 0$ 时：

(

)

(

)

(

)

\\boxed{\\sigma\\left(\\frac ab\\right) =\\frac{\\sigma(a)}{\\sigma(b)} }

$σ (\frac{a}{b}) = \frac{σ ( a )}{σ ( b )}$

因此，自同构保持域中的加、减、乘、除运算。

自同构的例子

$\\mathbb Q(\\sqrt2) Q(2 ) 的自同构$

设：

(

)

L=\\mathbb Q(\\sqrt2)

$L = Q (2$

)

定义：

(

)

−

\\sigma(\\sqrt2)=-\\sqrt2

$σ (2$

)=−2

则对于任意：

∈

a+b\\sqrt2\\in L, \\qquad a,b\\in\\mathbb Q

$a + b 2$

∈L,a,b∈Q

有：

(

)

−

\\boxed{ \\sigma(a+b\\sqrt2)=a-b\\sqrt2 }

$σ (a + b 2$

)=a−b2

因此：

Aut

⁡

(

)

{

⁡

}

\\boxed{ \\operatorname{Aut}(\\mathbb Q(\\sqrt2)) =\\{\\operatorname{id},\\sigma\\} }

$Aut (Q (2$

))={id,σ}

其中：

⁡

(

)

\\operatorname{id}(x)=x

$id (x) = x$

并且：

⁡

\\sigma^2=\\operatorname{id}

$σ^{2} = id$

所以：

\\boxed{ L^\\sigma=\\mathbb Q }

$L^{σ} = Q$

因为如果：

(

)

\\sigma(a+b\\sqrt2)=a+b\\sqrt2

$σ (a + b 2$

)=a+b2

那么：

−

a-b\\sqrt2=a+b\\sqrt2

$a - b 2$

=a+b2

从而：

b=0

$b = 0$

所以不动元素恰好是有理数。

$\\mathbb Q(\\sqrt2,\\sqrt3) Q(2 ,3 ) 的自同构$

(

)

L=\\mathbb Q(\\sqrt2,\\sqrt3)

$L = Q (2$

)

因为：

\\sqrt6=\\sqrt2\\sqrt3

$6$

所以

$L$ 中任意元素都可以唯一表示为：

∈

a+b\\sqrt2+c\\sqrt3+d\\sqrt6, \\qquad a,b,c,d\\in\\mathbb Q

$a + b 2$

+c3

+d6

,a,b,c,d∈Q

定义自同构

\\sigma

$σ$ ：

(

)

−

(

)

\\sigma(\\sqrt2)=-\\sqrt2, \\qquad \\sigma(\\sqrt3)=\\sqrt3

$σ (2$

)=−2

,σ(3

)=3

由于：

(

)

(

)

(

)

−

\\sigma(\\sqrt6) =\\sigma(\\sqrt2)\\sigma(\\sqrt3) =-\\sqrt6

$σ (6$

)=σ(2

)σ(3

)=−6

因此：

(

)

−

\\boxed{ \\sigma(a+b\\sqrt2+c\\sqrt3+d\\sqrt6) =a-b\\sqrt2+c\\sqrt3-d\\sqrt6 }

$σ (a + b 2$

+c3

+d6

)=a−b2

+c3

−d6

再定义自同构

\\tau

$τ$ ：

(

)

(

)

−

\\tau(\\sqrt2)=\\sqrt2, \\qquad \\tau(\\sqrt3)=-\\sqrt3

$τ (2$

)=2

,τ(3

)=−3

于是：

(

)

(

)

(

)

−

\\tau(\\sqrt6) =\\tau(\\sqrt2)\\tau(\\sqrt3) =-\\sqrt6

$τ (6$

)=τ(2

)τ(3

)=−6

因此：

(

)

−

\\boxed{ \\tau(a+b\\sqrt2+c\\sqrt3+d\\sqrt6) =a+b\\sqrt2-c\\sqrt3-d\\sqrt6 }

$τ (a + b 2$

+c3

+d6

)=a+b2

−c3

−d6

还可以同时改变

\\sqrt2

$2$

和

\\sqrt3

$3$

的符号：

(

)

−

\\sigma\\tau(\\sqrt2)=-\\sqrt2

$σ τ (2$

)=−2

以及：

(

)

−

\\sigma\\tau(\\sqrt3)=-\\sqrt3

$σ τ (3$

)=−3

所以：

(

)

\\sigma\\tau(\\sqrt6)=\\sqrt6

$σ τ (6$

)=6

从而：

(

)

−

\\boxed{\\sigma\\tau(a+b\\sqrt2+c\\sqrt3+d\\sqrt6) =a-b\\sqrt2-c\\sqrt3+d\\sqrt6 }

$σ τ (a + b 2$

+c3

+d6

)=a−b2

−c3

+d6

因此一共有四个自同构：

Aut

⁡

(

)

{

⁡

}

\\boxed{ \\operatorname{Aut}(L) =\\{ \\operatorname{id}, \\sigma, \\tau, \\sigma\\tau \\} }

$Aut (L) = {id, σ, τ, σ τ}$

1. 这个自同构群是克莱因四元群

这四个自同构满足：

⁡

\\sigma^2=\\tau^2=\\operatorname{id}

$σ^{2} = τ^{2} = id$

并且：

\\sigma\\tau=\\tau\\sigma

$σ τ = τ σ$

同时：

(

)

⁡

(\\sigma\\tau)^2=\\operatorname{id}

$(σ τ)^{2} = id$

因此三个非单位元：

\\sigma,\\quad\\tau,\\quad\\sigma\\tau

$σ, τ, σ τ$

的阶全部都是

$2$ 。

所以这个群不是循环群

C_4

$C_{4}$ ，而是：

Aut

⁡

(

)

≅

\\boxed{ \\operatorname{Aut}(L)\\cong C_2\\times C_2 }

$Aut (L) ≅ C_{2} \times C_{2}$

这个群就是克莱因四元群，通常记作：

\\boxed{V_4}

$V_{4}$

因此：

Aut

⁡

(

)

≅

\\boxed{ \\operatorname{Aut}(\\mathbb Q(\\sqrt2,\\sqrt3)) \\cong V_4 }

$Aut (Q (2$

))≅V4

它的群结构可以写成：

自同构

(

)

的变化

⁡

(

)

(

−

)

(

−

)

(

−

)

\\begin{array}{c|c} \\text{自同构} & (\\sqrt2,\\sqrt3)\\text{ 的变化}\\\\ \\hline \\operatorname{id} & (\\sqrt2,\\sqrt3) \\\\[2mm] \\sigma & (-\\sqrt2,\\sqrt3) \\\\[2mm] \\tau & (\\sqrt2,-\\sqrt3) \\\\[2mm] \\sigma\\tau & (-\\sqrt2,-\\sqrt3) \\end{array}

$自同构 id σ τ σ τ (2$

) 的变化(2

)(−2

)(2

,−3

)(−2

,−3

)

可以把它理解成：

\\sqrt2

$2$

和

\\sqrt3

$3$

的符号分别有两种选择，因此一共有：

2\\times2=4

$2 \times 2 = 4$

种可能。

2. $\\sigma σ 的不动域$

考虑：

{

∈

(

)

}

L^\\sigma =\\{x\\in L:\\sigma(x)=x\\}

$L^{σ} = {x \in L : σ (x) = x}$

设：

x=a+b\\sqrt2+c\\sqrt3+d\\sqrt6

$x = a + b 2$

+c3

+d6

如果

$x$ 是

\\sigma

$σ$ 的不动元素，则：

(

)

\\sigma(x)=x

$σ (x) = x$

即：

−

a-b\\sqrt2+c\\sqrt3-d\\sqrt6 =a+b\\sqrt2+c\\sqrt3+d\\sqrt6

$a - b 2$

+c3

−d6

=a+b2

+c3

+d6

所以：

b=d=0

$b = d = 0$

因此：

x=a+c\\sqrt3

$x = a + c 3$

从而：

(

)

\\boxed{ L^\\sigma=\\mathbb Q(\\sqrt3) }

$L^{σ} = Q (3$

)

3. $\\tau τ 的不动域$

同理：

{

∈

(

)

}

L^\\tau =\\{x\\in L:\\tau(x)=x\\}

$L^{τ} = {x \in L : τ (x) = x}$

设：

x=a+b\\sqrt2+c\\sqrt3+d\\sqrt6

$x = a + b 2$

+c3

+d6

由：

(

)

\\tau(x)=x

$τ (x) = x$

得到：

c=d=0

$c = d = 0$

因此：

x=a+b\\sqrt2

$x = a + b 2$

所以：

(

)

\\boxed{ L^\\tau=\\mathbb Q(\\sqrt2) }

$L^{τ} = Q (2$

)

4. $\\sigma\\tau στ 的不动域$

现在考虑：

L^{\\sigma\\tau}

$L^{σ τ}$

因为：

(

)

−

\\sigma\\tau(\\sqrt2)=-\\sqrt2

$σ τ (2$

)=−2

以及：

(

)

−

\\sigma\\tau(\\sqrt3)=-\\sqrt3

$σ τ (3$

)=−3

但是：

(

)

\\sigma\\tau(\\sqrt6)=\\sqrt6

$σ τ (6$

)=6

所以：

(

)

−

\\sigma\\tau (a+b\\sqrt2+c\\sqrt3+d\\sqrt6) =a-b\\sqrt2-c\\sqrt3+d\\sqrt6

$σ τ (a + b 2$

+c3

+d6

)=a−b2

−c3

+d6

若：

(

)

\\sigma\\tau(x)=x

$σ τ (x) = x$

则：

b=c=0

$b = c = 0$

因此：

x=a+d\\sqrt6

$x = a + d 6$

从而：

(

)

\\boxed{ L^{\\sigma\\tau}=\\mathbb Q(\\sqrt6) }

$L^{σ τ} = Q (6$

)

5. 三个非平凡自同构与三个中间域

因此：

子群

不动域

⟨

⟩

(

)

⟨

⟩

(

)

⟨

⟩

(

)

\\boxed{ \\begin{array}{c|c} \\text{子群} & \\text{不动域}\\\\ \\hline \\langle\\sigma\\rangle & \\mathbb Q(\\sqrt3) \\\\[2mm] \\langle\\tau\\rangle & \\mathbb Q(\\sqrt2) \\\\[2mm] \\langle\\sigma\\tau\\rangle & \\mathbb Q(\\sqrt6) \\end{array} }

$子群 ⟨ σ ⟩ ⟨ τ ⟩ ⟨ σ τ ⟩ 不动域 Q (3$

)Q(2

)Q(6

)

而整个群的不动域是：

Aut

⁡

(

)

L^{\\operatorname{Aut}(L)} =\\mathbb Q

$L^{Aut (L)} = Q$

这说明：

⊂

(

)

(

)

(

)

⊂

(

)

\\mathbb Q \\subset \\mathbb Q(\\sqrt2),\\mathbb Q(\\sqrt3),\\mathbb Q(\\sqrt6) \\subset \\mathbb Q(\\sqrt2,\\sqrt3)

$Q \subset Q (2$

),Q(3

),Q(6

)⊂Q(2

)

构成了一个典型的中间域结构。

6. 与伽罗瓦群的关系

由于：

[

(

)

]

[\\mathbb Q(\\sqrt2,\\sqrt3):\\mathbb Q]=4

$[Q (2$

):Q]=4

而自同构的数量也是：

∣

Aut

⁡

(

)

∣

|\\operatorname{Aut}(L)|=4

$∣ Aut (L) ∣ = 4$

因此：

∣

Aut

⁡

(

)

∣

[

]

|\\operatorname{Aut}(L)| =[L:\\mathbb Q]

$∣ Aut (L) ∣ = [L : Q]$

所以：

(

)

是伽罗瓦扩张

\\boxed{ \\mathbb Q(\\sqrt2,\\sqrt3)/\\mathbb Q \\text{ 是伽罗瓦扩张} }

$Q (2$

)/Q 是伽罗瓦扩张

其伽罗瓦群为：

Gal

⁡

(

)

Aut

⁡

(

)

≅

\\boxed{ \\operatorname{Gal} (\\mathbb Q(\\sqrt2,\\sqrt3)/\\mathbb Q) =\\operatorname{Aut} (\\mathbb Q(\\sqrt2,\\sqrt3)) \\cong V_4 }

$Gal (Q (2$

)/Q)=Aut(Q(2

))≅V4

这个例子完整地展示了：

域扩张

⟶

自同构

⟶

不动域

⟶

伽罗瓦群

\\boxed{ \\text{域扩张} \\longrightarrow \\text{自同构} \\longrightarrow \\text{不动域} \\longrightarrow \\text{伽罗瓦群} }

$域扩张 ⟶ 自同构 ⟶ 不动域 ⟶ 伽罗瓦群$

并且在这个例子中，克莱因四元群

V_4

$V_{4}$ 的三个非平凡子群，恰好对应三个中间域：

(

)

∣

(

)

(

)

(

)

∣

\\boxed{ \\begin{array}{ccc} &\\mathbb Q(\\sqrt2,\\sqrt3)&\\\\ /&\\vert&\\backslash\\\\ \\mathbb Q(\\sqrt2)& \\mathbb Q(\\sqrt3)& \\mathbb Q(\\sqrt6)\\\\ \\backslash&\\vert&/\\\\ &\\mathbb Q& \\end{array} }

$/ Q (2$

)\\Q(2

)∣Q(3

)∣Q\\Q(6

伽罗瓦自同构

域自同构是

$L$ 到自身的域自同构：

∈

Aut

⁡

(

)

\\sigma\\in\\operatorname{Aut}(L)

$σ \in Aut (L)$

如果进一步要求

\\sigma

$σ$ 固定基域

$K$ 中的所有元素：

(

)

∀

∈

\\sigma(a)=a, \\qquad \\forall a\\in K

$σ (a) = a, \forall a \in K$

那么

\\sigma

$σ$ 就是

L/K

$L / K$ 的伽罗瓦自同构。

因此：

Gal

⁡

(

)

{

∈

Aut

⁡

(

)

∣

(

)

∀

∈

}

\\boxed{\\operatorname{Gal}(L/K) =\\{\\sigma\\in\\operatorname{Aut}(L) \\mid \\sigma(a)=a,\\ \\forall a\\in K \\} }

$Gal (L / K) = {σ \in Aut (L) ∣ σ (a) = a, \forall a \in K}$

所以：

Gal

⁡

(

)

≤

Aut

⁡

(

)

\\boxed{ \\operatorname{Gal}(L/K) \\leq \\operatorname{Aut}(L) }

$Gal (L / K) \leq Aut (L)$

即：

域自同构

⊇

固定基域

的自同构

伽罗瓦自同构

\\boxed{ \\text{域自同构} \\supseteq\\text{固定 }基域K\\text{ 的自同构} =\\text{伽罗瓦自同构} }

$域自同构 \supseteq 固定基域 K 的自同构 = 伽罗瓦自同构$

单个自同构的不动域

设

$L$ 是一个域，

∈

Aut

⁡

(

)

\\sigma\\in\\operatorname{Aut}(L)

$σ \in Aut (L)$ 是

$L$ 的一个自同构。

定义

\\sigma

$σ$ 的不动域为：

{

∈

∣

(

)

}

\\boxed{ L^\\sigma= \\{x\\in L\\mid \\sigma(x)=x\\} }

$L^{σ} = {x \in L ∣ σ (x) = x}$

⊆

L^\\sigma\\subseteq L

$L^{σ} \subseteq L$

L^\\sigma

$L^{σ}$ 是从

$L$ 中挑出来的、被

\\sigma

$σ$ 固定的元素：

L^\\sigma

$L^{σ}$ 是

$L$ 的子域,

$L$ 是

L^\\sigma

$L^{σ}$ 的扩域

例如：

(

)

L=\\mathbb{Q}(\\sqrt2)

$L = Q (2$

)

定义：

(

)

−

\\sigma(\\sqrt2)=-\\sqrt2

$σ (2$

)=−2

那么：

L^\\sigma=\\mathbb{Q}

$L^{σ} = Q$

⊂

(

)

\\mathbb{Q}=L^\\sigma\\subset L=\\mathbb{Q}(\\sqrt2)

$Q = L^{σ} \subset L = Q (2$

)

自同构子群的不动域

设

≤

Aut

⁡

(

)

G\\leq\\operatorname{Aut}(L)

$G \leq Aut (L)$ 是

$L$ 的一个自同构子群。

定义

$G$ 的不动域为：

{

∈

∣

(

)

∀

∈

}

\\boxed{ L^G= \\{x\\in L\\mid \\sigma(x)=x,\\ \\forall\\sigma\\in G \\} }

$L^{G} = {x \in L ∣ σ (x) = x, \forall σ \in G}$

⋂

∈

\\boxed{ L^G=\\bigcap_{\\sigma\\in G}L^\\sigma }

$L^{G} = σ \in G ⋂ L^{σ}$

伽罗瓦自同构与不动域的关系

对于：

∈

Gal

⁡

(

)

\\sigma\\in\\operatorname{Gal}(L/K)

$σ \in Gal (L / K)$

因为

\\sigma

$σ$ 固定

$K$ 中的所有元素，所以：

⊆

K\\subseteq L^\\sigma

$K \subseteq L^{σ}$

其中：

{

∈

∣

(

)

}

L^\\sigma= \\{x\\in L\\mid\\sigma(x)=x\\}

$L^{σ} = {x \in L ∣ σ (x) = x}$

如果一个自同构子群：

≤

Gal

⁡

(

)

G\\leq\\operatorname{Gal}(L/K)

$G \leq Gal (L / K)$

那么

$G$ 的不动域为：

{

∈

∣

(

)

∀

∈

}

\\boxed{ L^G= \\{x\\in L\\mid \\sigma(x)=x,\\ \\forall\\sigma\\in G \\} }

$L^{G} = {x \in L ∣ σ (x) = x, \forall σ \in G}$

并且：

⊆

\\boxed{ K\\subseteq L^G\\subseteq L }

$K \subseteq L^{G} \subseteq L$

伽罗瓦对应

设

L/K

$L / K$ 是一个伽罗瓦扩张。

伽罗瓦群为：

Gal

⁡

(

)

\\operatorname{Gal}(L/K)

$Gal (L / K)$

伽罗瓦对应建立了：

中间域

⟷

伽罗瓦群的子群

\\boxed{ \\text{中间域} \\quad\\longleftrightarrow\\quad \\text{伽罗瓦群的子群} }

$中间域 ⟷ 伽罗瓦群的子群$

其中中间域是满足：

⊆

K\\subseteq F\\subseteq L

$K \subseteq F \subseteq L$

的域

$F$ 。

从子群得到不动域

对于任意子群：

≤

Gal

⁡

(

)

G\\leq\\operatorname{Gal}(L/K)

$G \leq Gal (L / K)$

可以得到一个不动域：

{

∈

∣

(

)

∀

∈

}

\\boxed{ L^G= \\{x\\in L\\mid \\sigma(x)=x,\\ \\forall\\sigma\\in G \\} }

$L^{G} = {x \in L ∣ σ (x) = x, \forall σ \in G}$

并且：

⊆

\\boxed{ K\\subseteq L^G\\subseteq L }

$K \subseteq L^{G} \subseteq L$

所以：

⟶

G \\quad\\longrightarrow\\quad L^G

$G ⟶ L^{G}$

从中间域得到子群

对于任意中间域：

⊆

K\\subseteq F\\subseteq L

$K \subseteq F \subseteq L$

定义：

Gal

⁡

(

)

{

∈

Gal

⁡

(

)

∣

(

)

∀

∈

}

\\boxed{ \\operatorname{Gal}(L/F) =\\{\\sigma\\in\\operatorname{Gal}(L/K) \\mid \\sigma(x)=x,\\ \\forall x\\in F \\} }

$Gal (L / F) = {σ \in Gal (L / K) ∣ σ (x) = x, \forall x \in F}$

也就是说：

Gal

⁡

(

)

\\operatorname{Gal}(L/F)

$Gal (L / F)$ 是所有固定

$F$ 中元素的伽罗瓦自同构组成的子群。

所以：

⟶

Gal

⁡

(

)

F \\quad\\longrightarrow\\quad \\operatorname{Gal}(L/F)

$F ⟶ Gal (L / F)$

两个对应关系

因此：

⟷

\\boxed{ G \\quad\\longleftrightarrow\\quad L^G }

$G ⟷ L^{G}$

以及：

⟷

Gal

⁡

(

)

\\boxed{ F \\quad\\longleftrightarrow\\quad \\operatorname{Gal}(L/F) }

$F ⟷ Gal (L / F)$

更完整地写：

{

⊆

}

⟷

{

≤

Gal

⁡

(

)

}

\\boxed{ \\left\\{ \\begin{array}{c} K\\subseteq F\\subseteq L \\end{array} \\right\\} \\quad \\longleftrightarrow \\quad \\left\\{ \\begin{array}{c} G\\leq\\operatorname{Gal}(L/K) \\end{array} \\right\\} }

${K \subseteq F \subseteq L} ⟷ {G \leq Gal (L / K)}$

其中对应关系为：

Gal

⁡

(

)

\\boxed{ F=L^{\\operatorname{Gal}(L/F)} }

$F = L^{Gal (L / F)}$

以及：

Gal

⁡

(

)

\\boxed{ G=\\operatorname{Gal}(L/L^G) }

$G = Gal (L / L^{G})$

因此，伽罗瓦对应的核心就是：

中间域

⟷

子群

\\boxed{ \\text{中间域} \\quad\\longleftrightarrow\\quad \\text{子群} }

$中间域 ⟷ 子群$

通过“不动域”建立二者之间的对应。

可分扩张

设

L/K

$L / K$ 是一个代数扩张。

如果

$L$ 中的每一个元素

\\alpha

$α$ 在

$K$ 上的最小多项式都没有重复根，那么称

L/K

$L / K$ 是可分扩张。

即：

是可分扩张

⟺

∀

∈

(

)

没有重复根

\\boxed{ L/K\\text{ 是可分扩张} \\iff \\forall\\alpha\\in L,\\ m_{\\alpha,K}(x)\\text{ 没有重复根} }

$L / K 是可分扩张 ⟺ \forall α \in L, m_{α, K} (x) 没有重复根$

其中

(

)

m_{\\alpha,K}(x)

$m_{α, K} (x)$ 表示

\\alpha

$α$ 在

$K$ 上的最小多项式。

可分扩张的例子

(

)

L=\\mathbb{Q}(\\sqrt2),\\qquad K=\\mathbb{Q}

$L = Q (2$

),K=Q

\\sqrt2

$2$

在

\\mathbb{Q}

$Q$ 上的最小多项式为：

−

x^2-2

$x^{2} - 2$

它的两个根为：

−

\\sqrt2,\\quad-\\sqrt2

$2$

,−2

两个根不同，因此没有重复根。

不可分扩张的例子

不可分扩张通常出现在正特征的域中。

设：

(

)

K=\\mathbb{F}_p(t)

$K = F_{p} (t)$

其中

$p$ 是素数，

$t$ 是一个不定元。

令

\\alpha

$α$ 满足：

\\alpha^p=t

$α^{p} = t$

并令：

(

)

L=K(\\alpha)

$L = K (α)$

那么

\\alpha

$α$ 在

$K$ 上的最小多项式为：

(

)

−

f(x)=x^p-t

$f (x) = x^{p} - t$

但是：

′

(

)

−

f'(x)=px^{p-1}=0

$f^{'} (x) = p x^{p - 1} = 0$

因此

(

)

f(x)

$f (x)$ 有重根。

事实上，在代数闭包中：

−

(

−

)

x^p-t=(x-\\alpha)^p

$x^{p} - t = (x - α)^{p}$

所以

\\alpha

$α$ 是

$p$ 重根。

因此：

不是可分扩张

\\boxed{ L/K\\text{ 不是可分扩张} }

$L / K 不是可分扩张$ 或

是不可分扩张

\\boxed{ L/K\\text{ 是不可分扩张} }

$L / K 是不可分扩张$

这个例子说明：

不可分扩张可以由最小多项式具有重根产生

\\boxed{ \\text{不可分扩张可以由最小多项式具有重根产生} }

$不可分扩张可以由最小多项式具有重根产生$

正规扩张

设

L/K

$L / K$ 是一个代数扩张。

如果

[

]

K[x]

$K [x]$ 中任意一个在

$L$ 中有根的不可约多项式，只要它在

$L$ 中有一个根，那么它的所有根都在

$L$ 中，则称

L/K

$L / K$ 是正规扩张。

直观理解：

一个不可约多项式的根只要有一个落在

$L$ 里面，那么它的其他根也必须全部落在

$L$ 里面。

正规扩张的例子

(

)

L=\\mathbb{Q}(\\sqrt2),\\qquad K=\\mathbb{Q}

$L = Q (2$

),K=Q

多项式：

−

x^2-2

$x^{2} - 2$

的两个根是：

−

\\sqrt2,\\quad-\\sqrt2

$2$

,−2

由于：

∈

\\sqrt2\\in L

$2$

∈L

并且：

−

∈

-\\sqrt2\\in L

$- 2$

∈L

所以这个多项式的所有根都在

$L$ 中。

因此：

(

)

是正规扩张

\\boxed{ \\mathbb{Q}(\\sqrt2)/\\mathbb{Q} \\text{ 是正规扩张} }

$Q (2$

)/Q 是正规扩张

非正规扩张的例子

设：

K=\\mathbb{Q}

$K = Q$

(

)

L=\\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2})

$L = Q (32$

)

那么：

(

)

L/K=\\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2})/\\mathbb{Q}

$L / K = Q (32$

)/Q

考虑多项式：

(

)

−

f(x)=x^3-2

$f (x) = x^{3} - 2$

它在

\\mathbb{Q}

$Q$ 上不可约，并且：

∈

\\sqrt[3]{2}\\in L

$32$

∈L

但是

(

)

f(x)

$f (x)$ 的另外两个根为：

\\omega\\sqrt[3]{2}, \\qquad \\omega^2\\sqrt[3]{2}

$ω 32$

,ω232

其中：

\\omega=e^{2\\pi i/3}

$ω = e^{2 π i /3}$

而：

∉

\\omega\\sqrt[3]{2}\\notin L

$ω 32$

∈/L

所以：

(

)

有一个根在

中，但非所有根都在

中

\\boxed{ f(x)\\text{ 有一个根在 }L\\text{ 中，但非所有根都在 }L\\text{ 中} }

$f (x) 有一个根在 L 中，但非所有根都在 L 中$

因此：

(

)

不是正规扩张

\\boxed{ \\mathbb{Q}(\\sqrt[3]{2})/\\mathbb{Q} \\text{ 不是正规扩张} }

$Q (32$

)/Q 不是正规扩张

也就是说：

正规扩张：一个根进来，所有根都进来

\\boxed{ \\text{正规扩张：一个根进来，所有根都进来} }

$正规扩张：一个根进来，所有根都进来$

伽罗瓦扩张

因此：

是伽罗瓦扩张

⟺

{

是可分扩张

是正规扩张

\\boxed{ L/K\\text{ 是伽罗瓦扩张} \\iff \\begin{cases} L/K\\text{ 是可分扩张}\\\\ L/K\\text{ 是正规扩张} \\end{cases} }

$L / K 是伽罗瓦扩张 ⟺ {L / K 是可分扩张 L / K 是正规扩张$

此时，

L/K

$L / K$ 的伽罗瓦群定义为：

Gal

⁡

(

)

{

∈

Aut

⁡

(

)

∣

(

)

∀

∈

}

\\boxed{ \\operatorname{Gal}(L/K) =\\{\\sigma\\in\\operatorname{Aut}(L) \\mid \\sigma(a)=a,\\ \\forall a\\in K \\} }

$Gal (L / K) = {σ \in Aut (L) ∣ σ (a) = a, \forall a \in K}$

其中：

Aut

⁡

(

)

\\operatorname{Aut}(L)

$Aut (L)$ 是

$L$ 的所有自同构组成的群。

Gal

⁡

(

)

\\operatorname{Gal}(L/K)

$Gal (L / K)$ 是其中固定

$K$ 中所有元素的自同构组成的子群。

因此：

Gal

⁡

(

)

≤

Aut

⁡

(

)

\\boxed{ \\operatorname{Gal}(L/K)\\leq\\operatorname{Aut}(L) }

$Gal (L / K) \leq Aut (L)$

正规子群与商群

如果

$H$ 是

$G$ 的正规子群，那么可以把

$G$ 按照

$H$ 分成若干个陪集：

$g H$

所有陪集组成一个群，称为商群：

\\boxed{ G/H }

$G / H$

中间域与商群定理

设：

L/K

$L / K$

是伽罗瓦扩张，并且：

⊆

K\\subseteq M\\subseteq L

$K \subseteq M \subseteq L$

令：

Gal

⁡

(

)

G=\\operatorname{Gal}(L/K)

$G = Gal (L / K)$

以及：

Gal

⁡

(

)

H=\\operatorname{Gal}(L/M)

$H = Gal (L / M)$

如果：

M/K

$M / K$

也是伽罗瓦扩张，那么：

⊴

\\boxed{ H\\trianglelefteq G }

$H ⊴ G$

因此可以构造商群：

\\boxed{ G/H }

$G / H$

并且有：

Gal

⁡

(

)

≅

\\boxed{ \\operatorname{Gal}(M/K) \\cong G/H }

$Gal (M / K) ≅ G / H$

也就是：

Gal

⁡

(

)

≅

Gal

⁡

(

)

Gal

⁡

(

)

\\boxed{ \\operatorname{Gal}(M/K) \\cong \\frac{\\operatorname{Gal}(L/K)} {\\operatorname{Gal}(L/M)} }

$Gal (M / K) ≅ \frac{Gal ( L / K )}{Gal ( L / M )}$

因此：

中间域

⟷

正规子群

⟶

商群

\\boxed{ \\text{中间域} \\quad\\longleftrightarrow\\quad \\text{正规子群} \\quad\\longrightarrow\\quad \\text{商群} }

$中间域 ⟷ 正规子群 ⟶ 商群$

伽罗瓦对应基本定理

如果

L/K

$L / K$ 是伽罗瓦扩张，M是K扩到L的中间域,

⊆

K\\subseteq M\\subseteq L

$K \subseteq M \subseteq L$

令：

Gal

⁡

(

)

G=\\operatorname{Gal}(L/K)

$G = Gal (L / K)$

Gal

⁡

(

)

H=\\operatorname{Gal}(L/M)

$H = Gal (L / M)$

如果

M/K

$M / K$ 也是伽罗瓦扩张，那么：

Gal

⁡

(

)

≅

Gal

⁡

(

)

Gal

⁡

(

)

\\boxed{ \\operatorname{Gal}(M/K) \\cong \\frac{\\operatorname{Gal}(L/K)} {\\operatorname{Gal}(L/M)} }

$Gal (M / K) ≅ \frac{Gal ( L / K )}{Gal ( L / M )}$

Gal

⁡

(

)

≅

\\boxed{ \\operatorname{Gal}(M/K)\\cong G/H }

$Gal (M / K) ≅ G / H$

五次方程问题

一般的五次方程：

ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0

$a x^{5} + b x^{4} + c x^{3} + d x^{2} + e x + f = 0$

与二次、三次、四次方程不同，一般五次方程不存在只使用加、减、乘、除和开方表示根的通用公式。

也就是说，不存在类似二次公式：

−

x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

这样的五次方程通用根式公式。

伽罗瓦理论的解释

设

(

)

∈

[

]

f(x)\\in K[x]

$f (x) \in K [x]$ 是一个五次多项式，

$L$ 是

(

)

f(x)

$f (x)$ 的分裂域。

考虑：

Gal

⁡

(

)

\\operatorname{Gal}(L/K)

$Gal (L / K)$

即

(

)

f(x)

$f (x)$ 的伽罗瓦群。

伽罗瓦理论告诉我们：

(

)

可以用根式求解

⟺

Gal

⁡

(

)

是可解群

\\boxed{ f(x)\\text{ 可以用根式求解} \\iff \\operatorname{Gal}(L/K)\\text{ 是可解群} }

$f (x) 可以用根式求解 ⟺ Gal (L / K) 是可解群$

求根公式和根式扩域

在求根公式中，我们会不断使用：

−

+,\\quad -,\\quad \\times,\\quad \\div,\\quad \\sqrt[n]{\\phantom{x}}

$+, -, \times, \div, n x$

其中真正产生域扩张的是开方运算。

例如：

\\sqrt2

$2$

可以看成从：

\\mathbb Q

$Q$

扩张到：

(

)

\\mathbb Q(\\sqrt2)

$Q (2$

)

即：

⊆

(

)

\\boxed{ \\mathbb Q \\subseteq \\mathbb Q(\\sqrt2) }

$Q \subseteq Q (2$

)

一次开方对应一次根式扩域

设

$K$ 是一个域，加入一个

$n$ 次方根

\\alpha

$α$ ：

∈

\\alpha^n=a,\\qquad a\\in K

$α^{n} = a, a \in K$

那么得到扩域：

⊆

(

)

K\\subseteq K(\\alpha)

$K \subseteq K (α)$

并且：

∈

\\boxed{ \\alpha^n\\in K }

$α^{n} \in K$

这种扩域叫根式扩域。

例如：

\\alpha=\\sqrt[3]{2}

$α = 32$

则：

∈

\\alpha^3=2\\in\\mathbb Q

$α^{3} = 2 \in Q$

所以：

⊆

(

)

\\boxed{ \\mathbb Q\\subseteq\\mathbb Q(\\sqrt[3]{2}) }

$Q \subseteq Q (32$

)

多次开方对应根式扩域链

求根公式通常不是只开一次方，而是连续进行多次开方。

因此会得到一条扩域链：

⊆

⋯

⊆

K=K_0 \\subseteq K_1 \\subseteq K_2 \\subseteq\\cdots \\subseteq K_n=L

$K = K_{0} \subseteq K_{1} \subseteq K_{2} \subseteq \dots \subseteq K_{n} = L$

其中每一步都是加入某个根式：

(

)

K_{i+1}=K_i(\\alpha_i)

$K_{i + 1} = K_{i} (α_{i})$

并且存在某个正整数

n_i

$n_{i}$ ，使得：

∈

\\alpha_i^{\\,n_i}\\in K_i

$α_{i}^{n_{i}} \in K_{i}$

所以：

(

)

∈

\\boxed{ K_{i+1}=K_i(\\alpha_i), \\qquad \\alpha_i^{\\,n_i}\\in K_i }

$K_{i + 1} = K_{i} (α_{i}), α_{i}^{n_{i}} \in K_{i}$

这样的扩域链称为根式扩域。

根式扩域例子

\\alpha=\\sqrt{3+\\sqrt{2+\\sqrt[3]{5}}}

$α = 3 + 2 + 35$

步骤加入的根式扩域

0	—	$K_0=\\mathbb Q K0=Q$
1	$\\beta=\\sqrt[3]{5} β=35 $	$K_1=\\mathbb Q(\\beta) K1=Q(β)$
2	$\\delta=\\sqrt{2+\\beta} δ=2+β $	$K_2=K_1(\\delta) K2=K1(δ)$
3	$\\alpha=\\sqrt{3+\\delta} α=3+δ $	$K_3=K_2(\\alpha) K3=K2(α)$

因此扩域过程为：

⊆

(

)

⊆

(

)

⊆

(

)

\\boxed{ \\mathbb Q \\subseteq \\mathbb Q(\\sqrt[3]{5}) \\subseteq \\mathbb Q(\\sqrt[3]{5},\\sqrt{2+\\sqrt[3]{5}}) \\subseteq \\mathbb Q(\\sqrt[3]{5},\\sqrt{2+\\sqrt[3]{5}}, \\sqrt{3+\\sqrt{2+\\sqrt[3]{5}}}) }

$Q \subseteq Q (35$

)⊆Q(35

,2+35

)⊆Q(35

,2+35

,3+2+35

)

即：

复杂根式

⟷

逐层根式扩域

\\boxed{ \\text{复杂根式} \\quad\\longleftrightarrow\\quad \\text{逐层根式扩域} }

$复杂根式 ⟷ 逐层根式扩域$

合数次扩域可以分成多个素数次扩域

设：

[

(

)

]

[K(\\alpha):K]=n

$[K (α) : K] = n$

如果

$n$ 是合数，例如：

n=6

$n = 6$

那么这个扩域可以通过中间域拆成：

⊆

(

)

\\boxed{ K\\subseteq M\\subseteq K(\\alpha) }

$K \subseteq M \subseteq K (α)$

使得：

[

(

)

]

[K(\\alpha):M]=2

$[K (α) : M] = 2$

[

]

[M:K]=3

$[M : K] = 3$

根据扩域次数公式：

[

(

)

]

[

(

)

]

[

]

[K(\\alpha):K] =[K(\\alpha):M][M:K]

$[K (α) : K] = [K (α) : M] [M : K]$

所以：

6=2\\times3

$6 = 2 \times 3$

即：

[

(

)

]

⟹

⊆

(

)

\\boxed{ [K(\\alpha):K]=6 \\quad\\Longrightarrow\\quad K\\subseteq M\\subseteq K(\\alpha) }

$[K (α) : K] = 6 ⟹ K \subseteq M \subseteq K (α)$

其中：

[

(

)

]

[

]

[K(\\alpha):M]=2,\\qquad [M:K]=3

$[K (α) : M] = 2, [M : K] = 3$

因此：

扩域扩域次数

$K\\subseteq M K⊆M$
$M\\subseteq K(\\alpha) M⊆K(α)$
$K\\subseteq K(\\alpha) K⊆K(α)$	$6=3\\times2 6=3×2$

一般情况

如果：

[

]

[L:K]=n

$[L : K] = n$

且：

⋯

n=p_1p_2\\cdots p_r

$n = p_{1} p_{2} \dots p_{r}$

其中每个

p_i

$p_{i}$ 都是素数，那么可以考虑把扩域分解成若干个素数次扩域：

⊆

⋯

⊆

\\boxed{ K=K_0 \\subseteq K_1 \\subseteq K_2 \\subseteq\\cdots \\subseteq K_r=L }

$K = K_{0} \subseteq K_{1} \subseteq K_{2} \subseteq \dots \subseteq K_{r} = L$

满足：

[

−

]

\\boxed{ [K_i:K_{i-1}]=p_i }

$[K_{i} : K_{i - 1}] = p_{i}$

于是：

[

]

∏

[

−

]

⋯

[L:K] =\\prod_{i=1}^{r} [K_i:K_{i-1}] =p_1p_2\\cdots p_r

$[L : K] = i = 1 \prod r [K_{i} : K_{i - 1}] = p_{1} p_{2} \dots p_{r}$ 所以：

合数次扩域

⟶

多个素数次扩域

\\boxed{ \\text{合数次扩域} \\quad\\longrightarrow\\quad \\text{多个素数次扩域} }

$合数次扩域 ⟶ 多个素数次扩域$ 开mn次根号可以分为先开m次根号, 再开n次根号

\\sqrt[mn]{a} =\\sqrt[n]{\\sqrt[m]{a}}

$mn a$

=nma

因此：

⟶

\\boxed{ \\sqrt[mn]{a} \\quad\\longrightarrow\\quad \\sqrt[m]{a} \\quad\\longrightarrow\\quad \\sqrt[n]{\\sqrt[m]{a}} }

$mn a$

⟶ma

⟶nma

对应扩域：

⊆

(

)

⊆

(

)

K \\subseteq K(\\sqrt[m]{a}) \\subseteq K\\left(\\sqrt[m]{a},\\sqrt[n]{\\sqrt[m]{a}}\\right)

$K \subseteq K (m a$

)⊆K(ma

,nma

)

例如：

\\sqrt[6]{2} =\\sqrt{\\sqrt[3]{2}}

$62$

=32

对应：

⊆

(

)

⊆

(

)

\\mathbb Q \\subseteq \\mathbb Q(\\sqrt[3]{2}) \\subseteq \\mathbb Q\\left(\\sqrt[3]{2},\\sqrt{\\sqrt[3]{2}}\\right)

$Q \subseteq Q (32$

)⊆Q(32

,32

)

一元二次求根公式的扩域过程

ax^2+bx+c=0

$a x^{2} + b x + c = 0$

步骤操作扩域

0	初始
1	$\\Delta=b^2-4ac Δ=b2−4ac$
2	加入 $\\sqrt{\\Delta} Δ $	$K(\\sqrt{\\Delta}) K(Δ )$
3	得到根	$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{\\Delta}}{2a} x=2a−b±Δ $

一元三次求根公式的扩域过程

是正规扩张

⟺

Gal

⁡

(

)

⊴

Gal

⁡

(

)

\\boxed{ M/K\\text{ 是正规扩张} \\iff \\operatorname{Gal}(L/M) \\trianglelefteq \\operatorname{Gal}(L/K) }

$M / K 是正规扩张 ⟺ Gal (L / M) ⊴ Gal (L / K)$

其中：

是伽罗瓦扩张

⊆

\\boxed{ L/K\\text{ 是伽罗瓦扩张}, \\qquad K\\subseteq M\\subseteq L }

$L / K 是伽罗瓦扩张, K \subseteq M \subseteq L$

设通用一元三次方程：

ax^3+bx^2+cx+d=0

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$

经过变量代换化为：

y^3+py+q=0

$y^{3} + p y + q = 0$

步骤操作扩域

0	初始
1	$\\Delta=\\left(\\frac q2\\right)^2+\\left(\\frac p3\\right)^3 Δ=(2q)2+(3p)3$
2	加入 $\\sqrt{\\Delta} Δ $	$K(\\sqrt{\\Delta}) K(Δ )$
3	加入 $\\sqrt[3]{-\\frac q2+\\sqrt{\\Delta}} 3−2q+Δ $	$K(\\sqrt{\\Delta},\\sqrt[3]{-\\frac q2+\\sqrt{\\Delta}}) K(Δ ,3−2q+Δ )$
4	加入 $\\sqrt[3]{-\\frac q2-\\sqrt{\\Delta}} 3−2q−Δ $	$K(\\sqrt{\\Delta},\\sqrt[3]{-\\frac q2+\\sqrt{\\Delta}},\\sqrt[3]{-\\frac q2-\\sqrt{\\Delta}}) K(Δ ,3−2q+Δ ,3−2q−Δ )$
5	得到三个根	$x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3$

⊆

(

)

⊆

(

−

)

⊆

\\boxed{ K \\subseteq K(\\sqrt{\\Delta}) \\subseteq K\\left( \\sqrt{\\Delta}, \\sqrt[3]{-\\frac q2+\\sqrt{\\Delta}} \\right) \\subseteq L }

$K \subseteq K (Δ$

)⊆K(Δ

,3−2q+Δ

)⊆L 或

⊆

(

)

⊆

\\boxed{ K \\subseteq K(\\sqrt{\\Delta}) \\subseteq L }

$K \subseteq K (Δ$

)⊆L

对应的群链为：

⊇

{

}

\\boxed{ S_3 \\supseteq A_3 \\supseteq \\{e\\} }

$S_{3} \supseteq A_{3} \supseteq {e}$

对应关系可以写成：

⟷

Gal

⁡

(

)

≅

(

)

⟷

Gal

⁡

(

)

≅

⟷

Gal

⁡

(

)

{

}

\\boxed{ \\begin{array}{ccc} K &\\longleftrightarrow& \\operatorname{Gal}(L/K)\\cong S_3 \\\\[6pt] K(\\sqrt{\\Delta}) &\\longleftrightarrow& \\operatorname{Gal}(L/K(\\sqrt{\\Delta}))\\cong A_3 \\\\[6pt] L &\\longleftrightarrow& \\operatorname{Gal}(L/L)=\\{e\\} \\end{array} }

$K K (Δ$

)L⟷⟷⟷Gal(L/K)≅S3Gal(L/K(Δ

))≅A3Gal(L/L)={e}

$\\sqrt{\\Delta} Δ 与 A 3 A_3 A3 的关系$

这里换个和Cardano 公式等效的判别式

三次方程的三个根为：

x_1,x_2,x_3

$x_{1}, x_{2}, x_{3}$

判别式为：

(

−

)

(

−

)

(

−

)

−

108

(

)

(

)

\\boxed{ \\Delta= (x_1-x_2)^2 (x_1-x_3)^2 (x_2-x_3)^2} =-108 \\left( \\left(\\frac q2\\right)^2+ \\left(\\frac p3\\right)^3 \\right)

$Δ = (x_{1} - x_{2})^{2} (x_{1} - x_{3})^{2} (x_{2} - x_{3})^{2} = - 108 ((\frac{q}{2})^{2} + (\frac{p}{3})^{3})$

因此：

(

−

)

(

−

)

(

−

)

\\boxed{ \\sqrt{\\Delta} =\\pm (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3) }

$Δ$

=±(x1−x2)(x1−x3)(x2−x3)

它可以区分根的偶置换和奇置换：

偶置换

↦

奇置换

↦

−

\\boxed{ \\begin{aligned} \\text{偶置换}&:\\quad \\sqrt{\\Delta}\\mapsto\\sqrt{\\Delta} \\\\ \\text{奇置换}&:\\quad \\sqrt{\\Delta}\\mapsto-\\sqrt{\\Delta} \\end{aligned} }

$偶置换奇置换 : Δ$

↦Δ

:Δ

↦−Δ

固定

\\sqrt{\\Delta}

$Δ$

的自同构恰好组成

A_3

$A_{3}$ ，因此

\\sqrt{\\Delta}

$Δ$

的不动域为

(

)

K(\\sqrt{\\Delta})

$K (Δ$

)。所以：

Gal

⁡

(

)

≅

\\boxed{ \\operatorname{Gal}(L/K(\\sqrt{\\Delta})) \\cong A_3 }

$Gal (L / K (Δ$

))≅A3

一元五次求根公式的扩域过程

设一般一元五次方程：

ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0

$a x^{5} + b x^{4} + c x^{3} + d x^{2} + e x + f = 0$

设它的五个根为：

x_1,x_2,x_3,x_4,x_5

$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$

设

$L$ 是这个方程的分裂域：

(

)

\\boxed{ L=K(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) }

$L = K (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})$

如果五次方程可以用根式求解，那么可以建立根式扩域链：

⊆

⋯

⊆

\\boxed{ K=K_0 \\subseteq K_1 \\subseteq K_2 \\subseteq \\cdots \\subseteq K_n=L }

$K = K_{0} \subseteq K_{1} \subseteq K_{2} \subseteq \dots \subseteq K_{n} = L$

其中每一步都是加入一个根式：

(

)

∈

\\boxed{ K_{i+1}=K_i(\\alpha_i), \\qquad \\alpha_i^{\\,m_i}\\in K_i }

$K_{i + 1} = K_{i} (α_{i}), α_{i}^{m_{i}} \in K_{i}$

一般五次方程的伽罗瓦群为：

Gal

⁡

(

)

≅

\\boxed{ \\operatorname{Gal}(L/K)\\cong S_5 }

$Gal (L / K) ≅ S_{5}$

其中：

∣

120

|S_5|=5!=120

$∣ S_{5} ∣ = 5! = 120$

而：

⊴

\\boxed{ A_5\\trianglelefteq S_5 }

$A_{5} ⊴ S_{5}$

并且：

≅

\\boxed{ S_5/A_5\\cong C_2 }

$S_{5} / A_{5} ≅ C_{2}$

但是：

不是阿贝尔群

\\boxed{ A_5\\text{ 不是阿贝尔群} }

$A_{5} 不是阿贝尔群$

因此：

不是可解群

\\boxed{ S_5\\text{ 不是可解群} }

$S_{5} 不是可解群$

与判别式 $\\Delta Δ 的关系$

五次方程的判别式为：

∏

(

−

)

\\boxed{ \\Delta= \\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2 }

$Δ = i < j \prod (x_{i} - x_{j})^{2}$

因此：

∏

(

−

)

\\boxed{ \\sqrt{\\Delta} =\\pm \\prod_{i<j}(x_i-x_j) }

$Δ$

=±i<j∏(xi−xj)

加入

\\sqrt{\\Delta}

$Δ$

后：

⊆

(

)

⊆

\\boxed{ K \\subseteq K(\\sqrt{\\Delta}) \\subseteq L }

$K \subseteq K (Δ$

)⊆L

对应的伽罗瓦群为：

⊇

{

}

\\boxed{ S_5 \\supseteq A_5 \\supseteq \\{e\\} }

$S_{5} \supseteq A_{5} \supseteq {e}$

因为：

Gal

⁡

(

)

≅

\\boxed{ \\operatorname{Gal}(L/K(\\sqrt{\\Delta})) \\cong A_5 }

$Gal (L / K (Δ$

))≅A5

但是

A_5

$A_{5}$ 是非阿贝尔单群，无法继续像三次方程中的

A_3

$A_{3}$ 那样通过正规子群分解成阿贝尔商群。

所以：

不可解

\\boxed{ S_5\\text{ 不可解} }

$S_{5} 不可解$

参考

域上的自同构

自同构保持域运算

自同构的例子

Q ( 2 ) \\mathbb Q(\\sqrt2) Q(2 ​) 的自同构

Q ( 2 , 3 ) \\mathbb Q(\\sqrt2,\\sqrt3) Q(2 ​,3 ​) 的自同构

1. 这个自同构群是克莱因四元群

2. σ \\sigma σ 的不动域

3. τ \\tau τ 的不动域

4. σ τ \\sigma\\tau στ 的不动域

5. 三个非平凡自同构与三个中间域

6. 与伽罗瓦群的关系

伽罗瓦自同构

单个自同构的不动域

自同构子群的不动域

伽罗瓦自同构与不动域的关系

伽罗瓦对应

从子群得到不动域

从中间域得到子群

两个对应关系

可分扩张

可分扩张的例子

不可分扩张的例子

正规扩张

正规扩张的例子

非正规扩张的例子

伽罗瓦扩张

正规子群与商群

中间域与商群定理

伽罗瓦对应基本定理

五次方程问题

伽罗瓦理论的解释

求根公式和根式扩域

一次开方对应一次根式扩域

多次开方对应根式扩域链

根式扩域例子

合数次扩域可以分成多个素数次扩域

一般情况

一元二次求根公式的扩域过程

一元三次求根公式的扩域过程

Δ \\sqrt{\\Delta} Δ ​ 与 A 3 A_3 A3​ 的关系

一元五次求根公式的扩域过程

与判别式 Δ \\Delta Δ 的关系

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