旋转矩阵：二维点绕原点旋转

1. 引言

在计算机图形学、物理模拟和数学可视化中，点的旋转是一个基础且重要的概念。本文将使用 Python 的 Matplotlib 库，通过动画直观地演示一个二维点如何绕原点进行旋转。我们将从旋转矩阵的数学原理出发，逐步编写代码，最终生成一个平滑的旋转动画。

2. 旋转矩阵原理

二维平面中，一个点 (x, y) 绕原点逆时针旋转 θ 弧度后，新坐标 (x', y') 可以通过旋转矩阵计算：

[x'] [cosθ -sinθ] [x]
[y'] = [sinθ cosθ] [y]

展开后得到：

• x' = x * cosθ – y * sinθ
• y' = x * sinθ + y * cosθ

这就是我们代码中 rotate 函数的数学基础。

3. 代码实现

3.1 导入库

import numpy as np # 导入 numpy，用于数学计算（三角函数、数组）
import matplotlib.pyplot as plt # 导入 matplotlib 绘图库，用于绘制图像
from matplotlib.animation import FuncAnimation # 导入动画模块，用于生成逐帧动画

3.2 定义旋转函数

# 旋转半径
R = 2.0 # 定义初始点距离原点的距离（半径）
# 初始点 (R, 0)

'''[x_f; y_f] = [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]] * [x_m; y_m]'''
# 二维旋转矩阵
def rotate(px, py, theta):
"""将点 (px, py) 绕原点旋转 theta 弧度，返回旋转后的新坐标。"""
c = np.cos(theta) # 计算旋转角度的余弦值
s = np.sin(theta) # 计算旋转角度的正弦值
x = px * c – py * s # 旋转公式：新 x = px*cosθ – py*sinθ
y = px * s + py * c # 旋转公式：新 y = px*sinθ + py*cosθ
return x, y # 返回旋转后的坐标 (x, y)

3.3 初始化画布

# 创建画布
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6)) # 创建 6×6 英寸的画布和坐标轴对象
ax.set_xlim(–R – 0.4, R + 0.4) # 设置 x 轴显示范围，留出 0.4 的边距
ax.set_ylim(–R – 0.4, R + 0.4) # 设置 y 轴显示范围，留出 0.4 的边距
ax.set_aspect("equal") # 设置 x、y 轴比例相等，保证圆形不变形
ax.grid(True, alpha=0.3) # 开启网格线，透明度设为 0.3
ax.axhline(0, c="black", lw=1) # 绘制 x 轴（y=0 的水平线）
ax.axvline(0, c="black", lw=1) # 绘制 y 轴（x=0 的垂直线）
ax.set_title("2D Point Rotate Around Origin") # 设置图像标题

# 绘图对象
point, = ax.plot([], [], "ro", markersize=8) # 创建红点对象，初始为空，尺寸 8，代表旋转的点

3.4 定义动画函数

def init():
"""初始化函数：blit 模式下先绘制一帧空白画面。"""
point.set_data([], []) # 红点初始为空
return (point,) # 必须返回可迭代的 Artist 序列（单元素元组）

def update(frame):
"""动画每一帧的更新函数，frame 为当前帧编号。"""
theta = np.radians(frame) # 将帧编号（角度值）从度转换为弧度
x, y = rotate(R, 0, theta) # 计算初始点 (R, 0) 旋转 theta 后的坐标
point.set_data([x], [y]) # 更新红点的位置
return (point,) # 必须返回可迭代的 Artist 序列（单元素元组）

3.5 创建并运行动画

# 动画
ani = FuncAnimation( # 创建动画对象
fig, update, frames=np.arange(0, 360, 2), # 帧从 0° 到 360°，每 2° 一帧
init_func=init, # 初始化函数：blit 模式用它绘制初始空白帧
interval=30, blit=True, repeat=True # 每帧间隔 30ms；blit=True 加快渲染；循环播放
)

plt.show() # 显示动画窗口

4. 代码解析

5. 运行效果

运行上述代码后，会弹出一个窗口，显示一个红点以原点为中心、半径为 2 的圆形轨迹匀速旋转。你可以通过修改 R 的值来改变旋转半径，或调整 frames 和 interval 参数来改变旋转速度和流畅度。

6. 扩展思考

• 绕任意点旋转：修改 rotate 函数，先平移坐标系使旋转中心移至原点，旋转后再平移回去。
• 绘制轨迹：在 update 函数中记录历史位置并绘制连线，可直观看到圆形路径。
• 三维旋转：使用类似原理，可以扩展到三维空间绕轴旋转。

7. 总结

本文通过一个简洁的 Python 动画示例，演示了二维旋转矩阵的应用。代码结构清晰，注释详细，适合初学者理解旋转的数学原理和 Matplotlib 动画的基本用法。你可以在此基础上进行修改和扩展，实现更复杂的图形动画效果。

附

import numpy as np # 导入 numpy，用于数学计算（三角函数、数组）
import matplotlib.pyplot as plt # 导入 matplotlib 绘图库，用于绘制图像
from matplotlib.animation import FuncAnimation # 导入动画模块，用于生成逐帧动画

# 旋转半径
R = 2.0 # 定义初始点距离原点的距离（半径）
# 初始点 (R, 0)

'''[x_f; y_f] = [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]] * [x_m; y_m]'''
# 二维旋转矩阵
def rotate(px, py, theta):
"""将点 (px, py) 绕原点旋转 theta 弧度，返回旋转后的新坐标。"""
c = np.cos(theta) # 计算旋转角度的余弦值
s = np.sin(theta) # 计算旋转角度的正弦值
x = px * c – py * s # 旋转公式：新 x = px*cosθ – py*sinθ
y = px * s + py * c # 旋转公式：新 y = px*sinθ + py*cosθ
return x, y # 返回旋转后的坐标 (x, y)

# 创建画布
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6)) # 创建 6×6 英寸的画布和坐标轴对象
ax.set_xlim(–R – 0.4, R + 0.4) # 设置 x 轴显示范围，留出 0.4 的边距
ax.set_ylim(–R – 0.4, R + 0.4) # 设置 y 轴显示范围，留出 0.4 的边距
ax.set_aspect("equal") # 设置 x、y 轴比例相等，保证圆形不变形
ax.grid(True, alpha=0.3) # 开启网格线，透明度设为 0.3
ax.axhline(0, c="black", lw=1) # 绘制 x 轴（y=0 的水平线）
ax.axvline(0, c="black", lw=1) # 绘制 y 轴（x=0 的垂直线）
ax.set_title("2D Point Rotate Around Origin") # 设置图像标题

# 绘图对象
point, = ax.plot([], [], "ro", markersize=8) # 创建红点对象，初始为空，尺寸 8，代表旋转的点

def init():
"""初始化函数：blit 模式下先绘制一帧空白画面。"""
point.set_data([], []) # 红点初始为空
return (point,) # 必须返回可迭代的 Artist 序列（单元素元组）

def update(frame):
"""动画每一帧的更新函数，frame 为当前帧编号。"""
theta = np.radians(frame) # 将帧编号（角度值）从度转换为弧度
x, y = rotate(R, 0, theta) # 计算初始点 (R, 0) 旋转 theta 后的坐标
point.set_data([x], [y]) # 更新红点的位置
return (point,) # 必须返回可迭代的 Artist 序列（单元素元组）

# ani = FuncAnimation(
# fig, # ① 画布对象：告诉动画"在哪块画布上播放"
# update, # ② 更新函数：告诉动画"每帧调用哪个函数来画图"
# frames=np.arange(0, 360, 2), # ③ 帧序列：告诉动画"一共有多少帧"
# interval=30, # ④ 时间间隔：每帧之间隔多少毫秒（30ms）
# blit=True, # ⑤ 是否只重绘变化的部分
# repeat=True # ⑥ 播完一遍后是否循环
# )

# 动画
ani = FuncAnimation( # 创建动画对象
fig, update, frames=np.arange(0, 360, 2), # 帧从 0° 到 360°，每 2° 一帧
init_func=init, # 初始化函数：blit 模式用它绘制初始空白帧
interval=30, blit=True, repeat=True # 每帧间隔 30ms；blit=True 加快渲染；循环播放
)

plt.show() # 显示动画窗口