线性代数学习教程，从入门到精通，向量组的线性相关性 — 完整知识点梳理(7）

向量组的线性相关性 — 完整知识点梳理

§1 向量组及其线性组合

1.1 向量的基本概念

n维向量：n个有次序的数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 所组成的数组

$$\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\text{（行向量）}$$

α=(a1a2⋮an)（列向量）\\boldsymbol{\\alpha} = \\begin{pmatrix} a_1 \\\\ a_2 \\\\ \\vdots \\\\ a_n \\end{pmatrix} \\quad \\text{（列向量）}α=​a1​a2​⋮an​​​（列向量）

零向量：所有分量都为零的向量，记为 $0$。

负向量：$-\mathbf{\alpha }=(-a_1,-a_2,\cdots ,-a_n)$

1.2 向量的线性运算

加法：$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots ,a_n+b_n)$

数乘：$k\mathbf{\alpha }=(k{a}_1,k{a}_2,\cdots ,k{a}_n)$

运算律：

• $\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=\mathbf{\beta }+\mathbf{\alpha }$
• $(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })+\mathbf{\gamma }=\mathbf{\alpha }+(\mathbf{\beta }+\mathbf{\gamma })$
• $\mathbf{\alpha }+0=\mathbf{\alpha }$
• $\mathbf{\alpha }+(-\mathbf{\alpha })=0$
• $1\cdot \mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }$
• $k(l\mathbf{\alpha })=(kl)\mathbf{\alpha }$
• $k(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=k\mathbf{\alpha }+k\mathbf{\beta }$
• $(k+l)\mathbf{\alpha }=k\mathbf{\alpha }+l\mathbf{\alpha }$

1.3 线性组合（Linear Combination）

定义：设有向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 和向量 $\mathbf{\beta }$，如果存在一组数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使得

$$\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m$$

则称 $\mathbf{\beta }$ 是 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 的 线性组合，也称 $\mathbf{\beta }$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表示。

1.4 线性表示与方程组的关系（重要）

核心定理：向量 $\mathbf{\beta }$ 能由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表示 $⟺$ 非齐次线性方程组

$$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_m{\mathbf{\alpha }}_m=\mathbf{\beta }$$

即

(α1,α2,⋯ ,αm)(x1x2⋮xm)=β(\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\cdots, \\boldsymbol{\\alpha}_m) \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_m \\end{pmatrix} = \\boldsymbol{\\beta}(α1​,α2​,⋯,αm​)​x1​x2​⋮xm​​​=β

有解。

详细推导过程：

设 αj=(a1ja2j⋮anj)\\boldsymbol{\\alpha}_j = \\begin{pmatrix} a_{1j} \\\\ a_{2j} \\\\ \\vdots \\\\ a_{nj} \\end{pmatrix}αj​=​a1j​a2j​⋮anj​​​，β=(b1b2⋮bn)\\boldsymbol{\\beta} = \\begin{pmatrix} b_1 \\\\ b_2 \\\\ \\vdots \\\\ b_n \\end{pmatrix}β=​b1​b2​⋮bn​​​，则

x1(a11a21⋮an1)+x2(a12a22⋮an2)+⋯+xm(a1ma2m⋮anm)=(b1b2⋮bn)x_1\\begin{pmatrix} a_{11} \\\\ a_{21} \\\\ \\vdots \\\\ a_{n1} \\end{pmatrix} + x_2\\begin{pmatrix} a_{12} \\\\ a_{22} \\\\ \\vdots \\\\ a_{n2} \\end{pmatrix} + \\cdots + x_m\\begin{pmatrix} a_{1m} \\\\ a_{2m} \\\\ \\vdots \\\\ a_{nm} \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} b_1 \\\\ b_2 \\\\ \\vdots \\\\ b_n \\end{pmatrix}x1​​a11​a21​⋮an1​​​+x2​​a12​a22​⋮an2​​​+⋯+xm​​a1m​a2m​⋮anm​​​=​b1​b2​⋮bn​​​

展开后等价于方程组：

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1m}{x}_m=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2m}{x}_m=b_2\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nm}{x}_m=b_n\end{array}$$

记 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$，增广矩阵 $\bar{A}=(A\mid \mathbf{\beta })$，则：

$\mathbf{\beta }$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表示 $⟺$ $R(A)=R(\bar{A})$

进一步地：

• 若 $R(A)=R(\bar{A})=m$，则表示方式唯一
• 若 $R(A)=R(\bar{A})<m$，则表示方式不唯一（有无穷多种）

1.5 向量组的等价

定义：设有两个向量组

$$A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{s}B:{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_t$$

若 $A$ 中每个向量都可由 $B$ 线性表示，且 $B$ 中每个向量都可由 $A$ 线性表示，则称向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价，记为 $A\cong B$。

等价的性质：

• 反身性：$A\cong A$
• 对称性：若 $A\cong B$，则 $B\cong A$
• 传递性：若 $A\cong B$，$B\cong C$，则 $A\cong C$

等价与矩阵的关系：向量组 $A$ 与 $B$ 等价 $⟺$ 存在矩阵 $P,Q$ 使得 $B=AP$ 且 $A=BQ$（其中 $P$ 的列向量是 $B$ 中各向量由 $A$ 表示的系数，$Q$ 的列向量是 $A$ 中各向量由 $B$ 表示的系数）。

1.6 重要定理

定理1：向量 $\mathbf{\beta }$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表示的充要条件是矩阵 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$ 的秩等于矩阵 $B=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m,\mathbf{\beta })$ 的秩。

定理2：向量组 $B:{\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_t$ 可由向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性表示的充要条件是

$$R({\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s)=R({\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s,{\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_t)$$

即把所有 ${\mathbf{\beta }}_j$ 拼到 $A$ 的列向量后面，秩不增加。

推论：若向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示，则 $R(B)\le R(A)$。

证明：设 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s)$，$B=({\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_t)$。$B$ 可由 $A$ 线性表示意味着存在矩阵 $K$（$s\times t$）使得 $B=AK$。

由矩阵秩的不等式 $R(AK)\le \min \{R(A),R(K)\}$，所以 $R(B)=R(AK)\le R(A)$。$■$

§2 向量组的线性相关性

2.1 线性相关与线性无关的定义

定义：设有 $m$ 个 $n$ 维向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$，如果存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使得

$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$$

则称向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性相关。

若上式只有在 $k_1=k_2=\cdots =k_m=0$ 时才成立，则称向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性无关。

2.2 线性相关性的几何直观

• 二维空间：两个向量线性相关 $⟺$ 它们共线（平行或反向）
• 三维空间：两个向量线性相关 $⟺$ 共线；三个向量线性相关 $⟺$ 共面
• 一般地：$m$ 个向量线性相关，意味着其中至少有一个向量是其余 $m-1$ 个向量的线性组合

2.3 线性相关性与齐次方程组的关系（核心）

定理：向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性相关 $⟺$ 齐次线性方程组

$$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$$

即

(α1,α2,⋯ ,αm)(x1x2⋮xm)=0(\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\cdots, \\boldsymbol{\\alpha}_m)\\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_m \\end{pmatrix} = \\boldsymbol{0}(α1​,α2​,⋯,αm​)​x1​x2​⋮xm​​​=0

有非零解。

详细推导：

设 $A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$ 为 $n\times m$ 矩阵。

$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$，$k_1,\cdots ,k_m$ 不全为零

$$⟺Ax=0\text{ 有非零解}$$

$$⟺R(A)<m$$

因此得到等价条件：

$$\boxed{\text{线性相关}⟺R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)<m}$$

$$\boxed{\text{线性无关}⟺R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)=m}$$

注意：$m$ 个 $n$ 维向量，当 $m>n$ 时必线性相关。

证明：$A$ 为 $n\times m$ 矩阵，$R(A)\le \min (n,m)=n<m$，故 $Ax=0$ 有非零解。

2.4 线性相关性的判定定理

定理1：向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$（$m\ge 2$）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余 $m-1$ 个向量线性表示。

证明：

($\Rightarrow$) 若线性相关，则存在不全为零的 $k_1,\cdots ,k_m$ 使 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$。不妨设 $k_i\ne 0$，则

$${\mathbf{\alpha }}_i=-\frac{k_1}{k_i}{\mathbf{\alpha }}_1-\cdots -\frac{k_{i-1}}{k_i}{\mathbf{\alpha }}_{i-1}-\frac{k_{i+1}}{k_i}{\mathbf{\alpha }}_{i+1}-\cdots -\frac{k_m}{k_i}{\mathbf{\alpha }}_m$$

即 ${\mathbf{\alpha }}_i$ 可由其余向量线性表示。

($\Leftarrow$) 若 ${\mathbf{\alpha }}_i={\lambda }_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +{\lambda }_{i-1}{\mathbf{\alpha }}_{i-1}+{\lambda }_{i+1}{\mathbf{\alpha }}_{i+1}+\cdots +{\lambda }_m{\mathbf{\alpha }}_m$，则

$${\lambda }_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +{\lambda }_{i-1}{\mathbf{\alpha }}_{i-1}+(-1){\mathbf{\alpha }}_i+{\lambda }_{i+1}{\mathbf{\alpha }}_{i+1}+\cdots +{\lambda }_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$$

其中 ${\mathbf{\alpha }}_i$ 的系数为 $-1\ne 0$，故不全为零，线性相关。$■$

定理2：若向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性无关，而向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m,\mathbf{\beta }$ 线性相关，则 $\mathbf{\beta }$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表示，且表示法唯一。

证明：由线性相关性，存在不全为零的 $k_1,\cdots ,k_m,k_{m+1}$ 使得

$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m+k_{m+1}\mathbf{\beta }=0$$

断言 $k_{m+1}\ne 0$。若 $k_{m+1}=0$，则 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$ 且 $k_1,\cdots ,k_m$ 不全为零（因 $k_1,\cdots ,k_m,k_{m+1}$ 不全为零），这与 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性无关矛盾。

故 $k_{m+1}\ne 0$，从而

$$\mathbf{\beta }=-\frac{k_1}{k_{m+1}}{\mathbf{\alpha }}_1-\cdots -\frac{k_m}{k_{m+1}}{\mathbf{\alpha }}_m$$

唯一性：若有两种表示 $\mathbf{\beta }={\lambda }_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +{\lambda }_m{\mathbf{\alpha }}_m={\mu }_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +{\mu }_m{\mathbf{\alpha }}_m$，则

$$({\lambda }_1-{\mu }_1){\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +({\lambda }_m-{\mu }_m){\mathbf{\alpha }}_m=0$$

由线性无关性得 ${\lambda }_i={\mu }_i$，$i=1,\cdots ,m$。$■$

定理3（部分与整体的关系）：

• 若向量组中部分向量组线性相关，则整体向量组线性相关。
• 等价地：若整体线性无关，则任何部分也线性无关。

证明：设 ${\mathbf{\alpha }}_{i_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}$（$r<m$）线性相关，即存在不全为零的 $k_{i_1},\cdots ,k_{i_r}$ 使 $k_{i_1}{\mathbf{\alpha }}_{i_1}+\cdots +k_{i_r}{\mathbf{\alpha }}_{i_r}=0$。令其余系数为0，则 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$ 中系数不全为零，故整体线性相关。$■$

定理4：设 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 线性无关，且每个 ${\mathbf{\alpha }}_i$ 都可由 ${\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_s$ 线性表示，则 $r\le s$。

这个定理将在秩的理论中反复使用。

2.5 判定方法总结

判定 $m$ 个 $n$ 维向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 是否线性相关：

§3 向量组的秩

3.1 极大线性无关组

定义：在向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 中，若存在 $r$ 个向量 ${\mathbf{\alpha }}_{i_1},{\mathbf{\alpha }}_{i_2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}$ 满足：

(1) ${\mathbf{\alpha }}_{i_1},{\mathbf{\alpha }}_{i_2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}$ 线性无关

(2) 原向量组中任意 $r+1$ 个向量（如果有的话）都线性相关

则称 ${\mathbf{\alpha }}_{i_1},{\mathbf{\alpha }}_{i_2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}$ 为该向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）。

等价定义：${\mathbf{\alpha }}_{i_1},{\mathbf{\alpha }}_{i_2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}$ 是向量组的一个极大无关组 $⟺$

(1) 这 $r$ 个向量线性无关

(2) 原向量组中任一向量都可由这 $r$ 个向量线性表示

两个定义的等价性证明：

($\Rightarrow$) 设 ${\mathbf{\alpha }}_{i_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}$ 满足定义中的 (1)(2)。任取原向量组中向量 ${\mathbf{\alpha }}_j$，则 ${\mathbf{\alpha }}_{i_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r},{\mathbf{\alpha }}_j$ 是 $r+1$ 个向量（当 ${\mathbf{\alpha }}_j$ 不在其中时），由条件(2)知它们线性相关。又 ${\mathbf{\alpha }}_{i_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}$ 线性无关，由§2定理2知 ${\mathbf{\alpha }}_j$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_{i_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}$ 线性表示。

($\Leftarrow$) 设 ${\mathbf{\alpha }}_{i_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}$ 线性无关且原组中每个向量都可由它们表示。任取 $r+1$ 个向量（含或不含这 $r$ 个），其中至少有一个是 ${\mathbf{\alpha }}_{i_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{i_r}$ 的线性组合，由定理1知这 $r+1$ 个向量线性相关。$■$

重要性质：

• 极大无关组不唯一，但不同极大无关组所含向量个数相同
• 只含零向量的向量组没有极大无关组
• 线性无关向量组的极大无关组就是它自身

3.2 向量组的秩

定义：向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩，记为 $R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s)$。

规定：只含零向量的向量组的秩为 $0$。

3.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系

定理：矩阵的秩 $=$ 它的列向量组的秩 $=$ 它的行向量组的秩。

证明思路：设 $A$ 是 $n\times m$ 矩阵，$R(A)=r$。

对 $A$ 进行初等行变换化为行阶梯形 $B$。$B$ 中有 $r$ 个非零行，这 $r$ 个非零行的首元所在的 $r$ 列线性无关（因为它们化简后形成 $r$ 阶单位矩阵），对应到原矩阵 $A$ 中的 $r$ 列也线性无关（初等行变换不改变列向量的线性关系）。

同时 $A$ 的任一列都可由这 $r$ 列线性表示（因为 $Ax=0$ 的解空间维数为 $m-r$）。故这 $r$ 列是 $A$ 的列向量组的极大无关组。

行向量组的秩同理可证（或利用 $R(A)=R(A^T)$）。$■$

3.4 求极大无关组的方法

步骤：

为什么行阶梯形的首元列对应极大无关组？

设行阶梯形 $B$ 中第 $j_1,j_2,\cdots ,j_r$ 列为首元列。这些列在 $B$ 中呈阶梯状，构成一个上三角矩阵（每行首元所在列的上方元素均为0），所以它们线性无关。

初等行变换保持列向量之间的线性关系：若 $B$ 中 $c_1{\mathbf{b}}_{j_1}+\cdots +c_r{\mathbf{b}}_{j_r}=0$ 则 $c_1=\cdots =c_r=0$，对应到 $A$ 中 $c_1{\mathbf{a}}_{j_1}+\cdots +c_r{\mathbf{a}}_{j_r}=0$ 也必须 $c_1=\cdots =c_r=0$。

3.5 向量组秩的性质

(1) 若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，则 $R(A)\le R(B)$。

详细证明：设 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$，$B:{\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_t$。$A$ 可由 $B$ 线性表示意味着存在矩阵 $K_{t\times s}$ 使得

$$({\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s)=({\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_t)K$$

设 $R(B)=r$，取 $B$ 的极大无关组 ${\mathbf{\beta }}_{j_1},\cdots ,{\mathbf{\beta }}_{j_r}$，则 $B$ 中每个向量都可由这 $r$ 个向量表示。因此 $A$ 中每个向量也可由这 $r$ 个向量表示，故 $R(A)\le r=R(B)$。$■$

(2) 等价的向量组具有相同的秩。

由 (1) 直接得出：$A\cong B$ $\Rightarrow$ $R(A)\le R(B)$ 且 $R(B)\le R(A)$，故 $R(A)=R(B)$。

注意：秩相同的向量组不一定等价（它们可能不在同一个空间中）。但如果秩相同且一个可由另一个表示，则它们等价。

(3) $R(AB)\le \min \{R(A),R(B)\}$（矩阵乘积的秩的不等式，在本章的语境下用向量组秩的角度理解）。

§4 向量空间

4.1 向量空间的定义

定义：设 $V$ 为 $n$ 维向量的非空集合，如果 $V$ 对向量的加法和数乘两种运算封闭，即：

• $\forall \mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V$，有 $\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\in V$
• $\forall \mathbf{\alpha }\in V,\forall k\in \mathbb{R}$，有 $k\mathbf{\alpha }\in V$

则称 $V$ 为一个向量空间。

典型例子：

• ${\mathbb{R}}^n$（全体 $n$ 维实向量）是一个向量空间
• 只含零向量的集合 $\{0\}$ 是一个向量空间（零空间）
• 齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解集是一个向量空间（解空间）
• 非齐次线性方程组 $Ax=b$（$b\ne 0$）的解集不是向量空间（不含零向量）

4.2 子空间

定义：设 $V$ 是向量空间，$W$ 是 $V$ 的非空子集。若 $W$ 对 $V$ 中的加法和数乘也构成向量空间，则称 $W$ 为 $V$ 的子空间。

判定定理：$W$ 是 $V$ 的子空间 $⟺$ $W$ 非空，且对加法和数乘封闭。

4.3 生成空间（张成空间）

定义：由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 的所有线性组合构成的集合

$$L({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)=\{k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m\mid k_1,k_2,\cdots ,k_m\in \mathbb{R}\}$$

是一个向量空间，称为由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 生成（或张成）的向量空间。

4.4 基、维数与坐标

定义：设 $V$ 是向量空间，若存在 $V$ 中的 $r$ 个向量 ${\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r$ 满足：

(1) ${\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r$ 线性无关

(2) $V$ 中任一向量都可由 ${\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r$ 线性表示

则称 ${\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r$ 为 $V$ 的一组基，$r$ 称为 $V$ 的维数，记为 $\dim V=r$。

坐标：$V$ 中任一向量 $\mathbf{\alpha }$ 可唯一地表示为

$$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\epsilon }}_1+x_2{\mathbf{\epsilon }}_2+\cdots +x_r{\mathbf{\epsilon }}_r$$

有序数组 $(x_1,x_2,\cdots ,x_r{)}^T$ 称为 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r$ 下的坐标。

坐标唯一性的证明：若有两种表示，相减得到零向量的一个线性组合表示，由基的线性无关性得各系数为零。

4.5 基变换与坐标变换

设有向量空间 $V$（$\dim V=r$）的两组基：

$$\text{旧基}:{\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r\text{新基}:{\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_r$$

基变换公式：

$$({\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_r)=({\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r)P$$

$P$ 称为从旧基到新基的过渡矩阵。

过渡矩阵的性质：

• $P$ 可逆
• $P$ 的第 $j$ 列是 ${\mathbf{\eta }}_j$ 在旧基下的坐标

推导：因每个 ${\mathbf{\eta }}_j$ 可由旧基表示：

$${\mathbf{\eta }}_j=p_{1j}{\mathbf{\epsilon }}_1+p_{2j}{\mathbf{\epsilon }}_2+\cdots +p_{rj}{\mathbf{\epsilon }}_r$$

写成矩阵形式即得 $({\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_r)=({\mathbf{\epsilon }}_1,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r)P$。

$P$ 可逆：因 ${\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_r$ 线性无关，所以 $R(P)=r$。

坐标变换公式：

设 $\mathbf{\alpha }$ 在旧基下的坐标为 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_r{)}^T$，在新基下的坐标为 $\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_r{)}^T$，则

$$\boxed{\mathbf{x}=P\mathbf{y}}$$

即

(x1x2⋮xr)=P(y1y2⋮yr)\\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_r \\end{pmatrix} = P \\begin{pmatrix} y_1 \\\\ y_2 \\\\ \\vdots \\\\ y_r \\end{pmatrix}​x1​x2​⋮xr​​​=P​y1​y2​⋮yr​​​

推导过程：

$$\mathbf{\alpha }=({\mathbf{\epsilon }}_1,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r)\mathbf{x}=({\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_r)\mathbf{y}$$

由基变换 $({\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_r)=({\mathbf{\epsilon }}_1,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r)P$，代入得

$$({\mathbf{\epsilon }}_1,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r)\mathbf{x}=({\mathbf{\epsilon }}_1,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r)P\mathbf{y}$$

由于 ${\mathbf{\epsilon }}_1,\cdots ,{\mathbf{\epsilon }}_r$ 线性无关，向量由它们表示的方式唯一，故

$$\mathbf{x}=P\mathbf{y}\text{或等价地}\mathbf{y}=P^{-1}\mathbf{x}$$

4.6 向量空间的维数公式

对于生成空间 $V=L({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s)$：

$$\dim V=R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s)$$