基于 DEA Performance 的 Malmquist-Luenberger 绿色 TFP 测算：SBM 跨期不可行性深度分析与超效率解法验证

一、研究背景与问题提出

在环境效率与绿色全要素生产率（Green TFP）研究中，Malmquist-Luenberger（ML）指数 是测算全要素生产率动态变化的主流方法。该方法结合非期望产出 SBM 模型（SBM-U），能够在兼顾污染、次品等非期望产出的前提下，分解出效率变化（EC）与技术进步（TC）两大驱动因素，被广泛应用于工业、农业、区域经济等领域的绩效评价。

但在实际测算中，很多研究者会遇到一个高频问题：跨期评价时 SBM 模型频繁出现不可行解，最终结果返回空值或 NaN，导致指数分解无法完成。尤其是当样本存在明显的技术进步 / 退步、DMU 异质性较强时，该问题更加突出。

本文从理论层面拆解常规 SBM 模型跨期不可行的核心成因，引入超效率 SBM 作为标准解法，并基于 DEA Performance 软件，通过标准化测试数据完成全流程验证，为 DEA 从业者提供可复用的解决方案。

二、理论基础：ML 指数与 SBM-U 模型

2.1 Malmquist-Luenberger 指数的定义

ML 指数基于距离函数构建，通过测算被评价单元相对于不同时期生产前沿的距离，衡量全要素生产率的动态变化。标准的相邻参比 ML 指数公式如下：

M

L

t

t

+

1

=

D

t

(

x

t

,

y

t

,

b

t

)

D

t

(

x

t

+

1

,

y

t

+

1

,

b

t

+

1

)

×

D

t

+

1

(

x

t

,

y

t

,

b

t

)

D

t

+

1

(

x

t

+

1

,

y

t

+

1

,

b

t

+

1

)

ML_{t}^{t+1} = \\sqrt{ \\frac{D^t(x^t,y^t,b^t)}{D^t(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})} \\times \\frac{D^{t+1}(x^t,y^t,b^t)}{D^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})} }

MLtt+1​=Dt(xt+1,yt+1,bt+1)Dt(xt,yt,bt)​×Dt+1(xt+1,yt+1,bt+1)Dt+1(xt,yt,bt)​

​ 其中

D

(

⋅

)

D(\\cdot)

D(⋅) 为距离函数，ML 指数可分解为效率变化（EC）与技术进步（TC）的乘积：

M

L

=

E

C

×

T

C

ML = EC \\times TC

ML=EC×TC

• 效率变化 EC：反映 DMU 对生产前沿的追赶效应；
• 技术进步 TC：反映两期之间生产前沿面的移动。

完整计算需要求解 4 个距离函数：

其中后两个跨期距离函数，正是 SBM 模型不可行问题的高发区。

2.2 非期望产出 SBM 模型的基本形式

常规非期望产出 SBM 模型基于松弛变量测算效率，核心特征是直接衡量投入冗余、期望产出不足、非期望产出冗余，不受比例缩放约束。其分式规划形式经 Charnes-Cooper 变换后可线性化求解，所有松弛变量均满足非负约束。正是这一“松弛变量非负”的前提，导致了跨期评价中的不可行问题。

三、问题复现：常规 SBM 的跨期不可行现象

3.1 测试数据集说明

为稳定复现 SBM 跨期不可行现象并验证超效率解法的有效性，本文构造了 10 个决策单元（DMU）的两期平衡面板数据，总计 20 条样本记录。所有指标合并展示如下，数据按前 10 行 t 期、后 10 行 t+1 期的顺序排列，与 DEA Performance 软件的数据导入格式完全匹配。

数据构造逻辑：整体呈现“投入递增、期望产出递减、非期望产出递增”的效率衰减趋势，且 t 期生产前沿全面优于 t+1 期，能够稳定触发“t 期单元参考 t+1 期前沿”的不可行场景。

软件导入说明：主界面数据表格录入「投入 1、投入 2、期望产出 1、期望产出 2」共 4 列；非期望产出在 ML 模型配置弹窗中单独录入，行数与分期规则与主表完全一致。该数据集可直接导入 DEA Performance 复现本文全部计算结果。

3.2 不可行现象的具体表现

使用常规 SBM 模型进行跨期评价时，当计算 t 期 DMU 相对于 t+1 期前沿的距离时，模型直接返回不可行状态，无法得到有效效率值。

最终会导致技术进步 TC 和 ML 指数无法计算，结果出现缺失，严重影响研究结论的完整性。

四、深层原因：为什么 SBM 会出现跨期不可行？

4.1 径向模型为什么不会出现该问题

径向 DEA 模型（如 CCR、BCC）基于比例缩放因子

θ

\\theta

θ/

ϕ

\\phi

ϕ 衡量效率，当被评价单元优于参考集时，只需放开缩放因子的上下界（允许

θ

>

1

\\theta>1

θ>1 或

ϕ

<

1

\\phi<1

ϕ<1），即可实现超效率评价，模型始终存在可行解。但 SBM 模型的逻辑完全不同。

4.2 SBM 模型不可行的核心逻辑

SBM 模型的生产约束为等式约束，且要求所有松弛变量非负：

• 投入松弛：表示参考集线性组合比被评价单元少的投入量（冗余），必须 $\ge 0$
• 期望产出松弛：表示参考集线性组合比被评价单元多的产出量（不足），必须 $\ge 0$
• 非期望产出松弛：表示参考集线性组合比被评价单元多的非期望产出量（冗余），必须 $\ge 0$

当被评价单元全面优于参考集所有单元时（比如 t 期高效单元参考技术退步后的 t+1 期前沿），参考集的线性组合无法从“投入更少、产出更多、非期望更少”的维度包络被评价单元。若强行满足等式约束，松弛变量必然出现负值，直接违反非负约束，最终导致模型无可行解。

简单来说：参考集的生产前沿“包不住”更优的被评价单元，常规 SBM 就会无解。

五、解决方案：超效率 SBM 模型

5.1 超效率 SBM 的核心思想

超效率 SBM 是解决该问题的标准方案，核心逻辑是： 评价单个 DMU 时，将其从参考集中剔除，允许被评价单元位于生产前沿面之外；通过反转松弛变量的方向，保持松弛变量的非负性，从而测算出大于 1 的超效率值。

对应到跨期评价场景：当 t 期单元参考 t+1 期前沿时，由于被评价单元不在参考集内，天然符合超效率的评价逻辑，模型可正常求解。

5.2 超效率 SBM 的实现要点

基于 Charnes-Cooper 线性化变换，超效率 SBM 需要对模型做三处核心调整：

只有三处调整完全对应，才能保证超效率值的计算准确，且与常规 SBM 的效率口径保持一致。

六、实证验证：基于 DEA Performance 的测算结果

6.1 软件参数配置

打开 DEA Performance 软件的 Malmquist-Luenberger 模块，按如下参数配置：

• 计算导向：分别测试投入导向、产出导向
• 参比前沿模式：相邻参比（传统 Färe 法）
• 基础模型：SBM-CRS（不变规模报酬）
• 非期望产出数量：2 列

图 2 DEA Performance ML 模型参数配置界面

软件内置智能不可行识别机制：当检测到常规 SBM 不可行时，自动切换为超效率 SBM 求解，无需用户手动调整模型，全程无感知输出完整结果。

6.2 计算结果汇总

投入导向 SBM-CRS 模式下，10 个 DMU 的完整指数分解结果如下：

图 2 DEA Performance ML 指数投入导向计算结果界面

图 3 DEA Performance ML 指数产出导向计算结果界面

6.3 结果正确性三重验证

验证 1：CRS 假设下导向无关性成立 DEA 理论中，不变规模报酬（CRS）假设下，投入导向与产出导向测算的效率值具有对偶等价性，最终 ML 指数、EC、TC 应当完全一致。本次测试中，投入导向与产出导向的计算结果完全相等，验证了模型实现的数学正确性。

验证 2：经济含义与数据趋势完全匹配 所有 DMU 的技术进步 TC 均显著小于 1，反映 t+1 期生产前沿相对于 t 期出现明显的技术退步，与测试数据“t 期投入更低、产出更高、非期望更少”的趋势完全吻合。效率变化 EC 有升有降，反映不同 DMU 对生产前沿的追赶效应差异：后期 DMU 的效率改善更明显，抵消了部分技术退步的影响，符合数据的梯度特征。

验证 3：跨期超效率值逻辑自洽

• t 期 DMU 参考 t+1 期前沿时，效率值大于 1（对应 $\beta$
• t+1 期 DMU 参考 t 期前沿时，效率值小于 1（对应 $\beta$

七、拓展讨论：不可行问题的其他兜底方案

7.1 全局参比模式

除超效率 SBM 外，另一种规避不可行的方案是全局参比模式：将两期数据合并构建统一的生产前沿，所有 DMU 均参考该全局前沿进行评价。该方法能够消除两期前沿的基准波动，结果更具可比性，适合稳健性检验；但经济含义与传统相邻参比法存在差异，不能完全替代。

DEA Performance 软件同时支持相邻参比与全局参比两种模式，可一键切换对比。

7.2 适用场景建议

• 样本异质性强、技术进步 / 退步明显的研究，建议默认依赖超效率 SBM 机制；
• 三期及以上多期面板数据，可搭配全局参比模式做稳健性检验；
• 小样本、FDH 模型场景，超效率机制同样适用，能显著提升求解成功率。

八、DEA Performance 软件功能亮点

九、总结

本文系统拆解了 Malmquist-Luenberger 指数测算中，常规 SBM 模型跨期不可行的核心成因 —— 被评价单元超优于参考集时，松弛变量非负约束无法满足。通过理论推导与实证验证，确认超效率 SBM 是解决该问题的标准方案。DEA Performance 软件内置的智能超效率切换机制，能够稳定处理各类跨期评价场景，保证结果的完整性与理论正确性，是绿色全要素生产率、环境效率研究的可靠计算工具。

本文测试数据与软件可用于复现全部计算过程，相关功能已集成至 DEA Performance 最新版本。

DEA Performance 链接：https://pan.baidu.com/s/1ziQkmN9LmLDebUGBIolIyw?pwd=5802