6. 基于概率分布函数的置信区间分析与正态分布区间概率计算

基于概率分布函数的置信区间分析与正态分布区间概率计算

置信区间是制造过程随机建模与统计过程控制中的核心应用工具，其以概率分布函数（$PDF$）为基础，通过量化过程输出在指定区间内的取值概率，实现对随机过程输出的概率化预测与置信度判定。而正态分布作为制造过程最常用的解析概率模型，其区间概率的计算是置信区间应用的核心实操内容，可通过$z$分数变换结合查表法、Excel、Matlab等多种工具实现精准求解。

本文将系统阐述置信区间的核心定义、基于标准正态分布的经典置信区间特征，同时详细介绍正态分布区间概率的通用计算方法与多工具实操流程，为制造过程的概率化分析与工程决策提供可落地的方法框架。

1. 置信区间的核心定义与理论基础

1.1 置信区间的本质内涵

置信区间是对连续型随机过程取值范围与对应置信度的联合量化描述，其核心是基于过程的母体概率分布函数，定义一个数值区间，并计算过程输出落入该区间的概率，这个概率即为置信度。简单来说，置信区间回答了 “基于当前的概率分布规律，过程输出落在某一区间内的可能性有多大” 这一核心问题，是将解析概率模型转化为工程实际应用的关键桥梁。

从几何意义上看，置信区间的置信度等价于概率分布函数曲线在该区间内与横轴围成的面积。由于连续型随机变量取单一数值的概率为0，因此所有置信区间均为连续的数值区间，这与概率分布函数的分析逻辑保持一致。

1.2 置信区间的核心理论基础

置信区间的计算以过程的平稳随机过程假设和已知母体概率分布为前提：

在制造过程中，由于绝大多数纯随机效应均服从正态分布，因此基于正态分布的置信区间成为应用最广泛的形式，而标准正态分布（$Z\sim N(0,1)$）因形式简化，成为置信区间特征分析的基础。

2. 标准正态分布的经典置信区间与核心特征

标准正态分布是均值$\mu =0$、标准差$\sigma =1$的正态分布，其概率分布函数具有完美的对称性，基于此推导的$\pm 1\sigma$、$\pm 2\sigma$、$\pm 3\sigma$经典置信区间，是制造过程统计过程控制的核心理论依据。

2.1 置信区间的通用计算方法

对于标准正态分布的随机变量$Z$，其在区间$[z_1,z_2]$内的置信度（概率）计算遵循累积概率相减法，即通过计算累积概率函数在两个区间端点的差值，得到区间内的面积，公式为： $$P(z_1<Z<z_2)=\Phi (z_2)-\Phi (z_1)$$ 其中，$\Phi (z)$为标准正态分布的累积概率函数，表征$Z$取值小于$z$的概率。

利用这一方法，可分别计算$\pm 1\sigma$、$\pm 2\sigma$、$\pm 3\sigma$区间的置信度，得到制造工程中最常用的三组经典置信区间特征。

2.2 标准正态分布的三组经典置信区间

通过累积概率相减法结合标准正态分布表查询，可精准求解三组核心区间的置信度，其结果成为制造过程质量判定与控制限设定的通用准则：