YOLOv1损失函数

我们来逐项、逐符号、用通俗语言+例子，彻底讲清楚 YOLOv1 的损失函数（Loss Function）到底在算什么、为什么这样设计。

🎯 损失函数的目标是什么？

YOLOv1 要同时完成三件事：

所以它的损失函数必须同时监督这三部分，而且要聪明地分配权重——不能让某一部分“压垮”其他部分。

📐 整体结构：5 个部分相加

YOLOv1 的总损失 $ \\mathcal{L} $ 是以下 5 项之和：

✅ 注意：只有真实物体中心所在的那个网格才算“有物体”。

🔍 逐项详解（配合符号说明）

符号说明（先搞懂这些！）

• $ S = 7 $：图像被分成 7×7 网格
• $ B = 2 $：每个网格预测 2 个边界框
• $ i $：网格索引（从 0 到 $S^2-1$，共 49 个）
• $ j $：框索引（0 或 1）
• $ \\mathbb{1}_{ij}^{\\text{obj}} $：指示函数
  • 如果第 $i$ 个网格中的第 $j$ 个框“负责”预测某个真实物体 → 值为 1
  • 否则为 0
• $ \\mathbb{1}_{i}^{\\text{obj}} $：如果第 $i$ 个网格包含某个物体的中心 → 为 1（用于分类损失）
• $ x_i, y_i $：模型预测的框中心（相对于网格左上角，归一化到 [0,1]）
• $ \\hat{x}_i, \\hat{y}_i $：真实值（ground truth）
• $ w_i, h_i $：预测的宽高（相对于整图，可 >1）
• $ \\hat{w}_i, \\hat{h}_i $：真实宽高
• $ C_i $：预测的置信度（confidence）
• $ \\hat{C}_i $：目标置信度（训练时 = 预测框与真实框的 IoU）
• $ p_i© $：预测的“该网格物体属于类别 c”的概率
• $ \\hat{p}_i© $：真实标签（one-hot 编码，如“狗”=1，其余=0）

第1项：框中心坐标损失（x, y）

$${\lambda }_{\text{coord}}\sum _{i=0}^{S^2}\sum _{j=0}^B{1}_{ij}^{\text{obj}}\left[(x_i-{\hat{x}}_i{)}^2+(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2\right]$$

✅ 含义：
只对“负责预测真实物体”的那些框，计算其中心点预测误差。

📌 关键点：

• 只有一个框会被选中（IoU 更大的那个），所以 $1_{ij}^{\text{obj}}$ 大部分是 0。
• 用 L2 损失（平方误差），惩罚大偏差。
• 乘以 ${\lambda }_{\text{coord}}=5$：强调定位很重要！

💡 举例：
真实物体中心在网格 (3,4)，两个预测框 A 和 B。
A 与真实框 IoU=0.6，B=0.3 → 选 A。
只计算 A 的 (x,y) 误差，B 的不算。

第2项：框尺寸损失（w, h）——但用了 √！

$${\lambda }_{\text{coord}}\sum _{i=0}^{S^2}\sum _{j=0}^B{1}_{ij}^{\text{obj}}\left[(\sqrt{w_i}-\sqrt{{\hat{w}}_i}{)}^2+(\sqrt{h_i}-\sqrt{{\hat{h}}_i}{)}^2\right]$$

✅ 含义：同样只对“负责框”计算宽高误差，但对 w 和 h 开平方后再算误差。

❓ 为什么要开平方？

👉 解决小物体误差被大物体淹没的问题。

• 假设真实宽 = 0.1（小物体），预测 = 0.2 → 误差 = 0.01（平方后）
• 真实宽 = 0.9（大物体），预测 = 1.0 → 误差 = 0.01（一样！）
• 但实际上，小物体预测错一倍，比大物体错一点点更严重！

开平方后：

• 小物体：√0.1 ≈ 0.316，√0.2 ≈ 0.447 → 差 ≈ 0.131 → 平方 ≈ 0.017
• 大物体：√0.9 ≈ 0.949，√1.0 = 1.0 → 差 ≈ 0.051 → 平方 ≈ 0.0026

→ 小物体的损失变大了！模型会更关注它。

第3项：有物体的置信度损失

$$\sum _{i=0}^{S^2}\sum _{j=0}^B{1}_{ij}^{\text{obj}}(C_i-{\hat{C}}_i{)}^2$$

✅ 含义：让“负责框”的置信度 $C_i$ 接近 它与真实框的 IoU。

• 如果预测框和真实框完全重合 → IoU=1 → 希望 $C_i=1$
• 如果重合度低 → IoU=0.5 → 希望 $C_i=0.5$

📌 注意：这不是让 confidence=1，而是让它等于 定位质量（IoU）！

第4项：无物体的置信度损失（重点！）

$${\lambda }_{\text{noobj}}\sum _{i=0}^{S^2}\sum _{j=0}^B{1}_{ij}^{\text{noobj}}(C_i-{\hat{C}}_i{)}^2$$

✅ 含义：让不负责任何物体的框的置信度趋近于 0。

• $1_{ij}^{\text{noobj}}=1-1_{ij}^{\text{obj}}$
• 总共有 49 网格 × 2 框 = 98 个预测框
• 但一张图通常只有 2~5 个物体 → 只有 2~5 个框是“有物体”的
• 剩下 90+ 个框都是背景！

⚠️ 问题：如果不对这些背景框惩罚，模型会胡乱预测高置信度框（全是假阳性）。

🔧 解决方案：

• 计算它们的 loss（希望 $C_i=0$）
• 但乘以一个小权重 ${\lambda }_{\text{noobj}}=0.5$
  → 防止负样本（背景）主导总损失（否则 loss 全被背景控制，物体学不好）

第5项：分类损失

$$\sum _{i=0}^{S^2}{1}_i^{\text{obj}}\sum _{c\in \text{classes}}(p_i(c)-{\hat{p}}_i(c){)}^2$$

✅ 含义：只对包含物体中心的网格，计算其类别概率误差。

• 注意：这里没有 j（框索引）！因为 YOLOv1 中一个网格只输出一组类别概率（共享给两个框）
• 用 L2 损失（也可以用交叉熵，但原论文用 L2）
• 如果网格没物体，不计算分类 loss

💡 举例：
网格 (2,5) 中心有“猫” → $\hat{p}(\text{cat})=1$，其他类=0
模型预测 $p(\text{cat})=0.8$ → 误差 = (0.8 – 1)² = 0.04

🧩 为什么这样设计？总结三大智慧

🖼️ 举个完整例子（一张图有 1 个物体）

• 图像：448×448，含 1 只狗
• 狗的中心落在网格 #23（即第 23 个网格）
• 该网格的两个预测框：Box A（IoU=0.7），Box B（IoU=0.4）→ 选 A 负责

那么损失计算如下：

✅ 总结一句话

YOLOv1 的损失函数是一个精心加权的多任务回归损失，它通过：

• 只让正确的网格和框学习
• 放大定位和小物体的误差
• 抑制背景框的置信度

实现了端到端的统一检测训练。

如果你现在再回头看公式，应该能看懂每一项在“惩罚谁”、“为什么惩罚”、“罚多重”了！