PN 结 | 基础特性、电容效应、击穿机制与耗尽层特性

注：本文为 “PN 结” 相关合辑。 图片清晰度受引文原图所限。 略作重排，未整理去重。 如有内容异常，请看原文。

PN 结的电容效应

Ethan Jiang 原创 2020-02-12 11:56:17

本文对 PN 结的单向导电特性的频率依赖性进行解析，说明该特性并非在所有工况下成立，当信号频率达到特定值时，PN 结将失去单向导电特性。同时深入分析 PN 结在正向偏置、反向偏置两种电压条件下的工作原理，阐述不同偏置下的电流形成过程，并探究电容效应对 PN 结导电性的影响规律。

PN 结单向导电性的工况限定

PN 结并非在任何情况下均具备单向导电性，答案为：否

势垒电容随反向偏置电压的增加而减小，随正向偏置电压的增加而增大。

PN 结的反向特性

热平衡状态下，N 区的少子空穴、P 区的少子自由电子的浓度分布如下图所示：

当 P 区接负极、N 区接正极时，PN 结处于反向偏置状态。外电场与 PN 结内建电场同向，对载流子形成反向抽取作用，耗尽区宽度增大，N 区与 P 区间的电势差形成的能垒高度提升。此时载流子的输运以少子的漂移运动为主，漂移运动的强度大于扩散运动，形成的反向电流数值极小；多子因能垒阻挡无法进入耗尽区，PN 结呈现高电阻特性。耗尽区内强电场的作用使载流子无法停留，且耗尽区边界处的少子浓度低于热平衡状态下的平均浓度。

PN 结的电容效应可等效为在二极管两端并联一个电容，该电容的容值为结电容，结电容为势垒电容与扩散电容的代数和。当输入信号的频率升高至特定值时，结电容的容抗降低至可忽略的程度，动态信号将全部施加于 PN 结的等效电阻上，结电容两端无压降，此时 PN 结的单向导电特性消失，等效为结电容被短路。

PN 结存在一极限频率，当外加电压的频率超过该极限频率时，PN 结将丧失单向导电特性。

当 P 区（阳极）接正极、N 区（阴极）接负极时，PN 结处于正向偏置状态。外电场与内建电场反向，能垒高度降低，载流子的输运以多子的扩散运动为主，扩散运动的强度大于漂移运动，形成的正向电流数值较大。

偏置状态对比

势垒电容与 PN 结偏置电压的变化规律

势垒电容的物理根源在于 PN 结耗尽层（即空间电荷区）中电荷数量随外加电压变化而产生的电容效应。其容值

C

b

C_b

Cb​ 与耗尽层宽度

W

W

W 成反比，即

C

b

=

ε

s

A

W

∝

1

W

,

C_b = \\frac{\\varepsilon_s A}{W} \\propto \\frac{1}{W},

Cb​=Wεs​A​∝W1​,

其中

ε

s

\\varepsilon_s

εs​ 为半导体介电常数，

A

A

A 为结面积。因此，势垒电容的变化由耗尽层宽度的改变决定，二者呈反向关系。随着 PN 结偏置电压的调整，势垒电容的具体变化规律如下：

势垒电容的定量表达式为：

C

b

=

C

b

0

(

1

−

V

V

b

i

)

m

,

C_b = \\frac{C_{b0}}{\\left(1 – \\frac{V}{V_{bi}}\\right)^m},

Cb​=(1−Vbi​V​)mCb0​​,

其中各参数定义如下：

• $C_{b0}$
• $V$
• $V_{bi}$
• $m$

对于反向偏置（

V

<

0

V < 0

V<0），令

∣

V

R

∣

=

−

V

|V_R| = -V

∣VR​∣=−V，则上式可改写为：

C

b

=

C

b

0

(

1

+

∣

V

R

∣

V

b

i

)

m

.

C_b = \\frac{C_{b0}}{\\left(1 + \\frac{|V_R|}{V_{bi}}\\right)^m}.

Cb​=(1+Vbi​∣VR​∣​)mCb0​​.

可见，随着反向偏压

∣

V

R

∣

|V_R|

∣VR​∣ 增大，分母增大，

C

b

C_b

Cb​ 单调减小。这一定量结果与前述定性分析完全一致，也符合 PN 结势垒电容的 C–V 特性曲线。

适用范围与极限

需要特别指出，上述公式主要适用于反向偏置及弱正向偏置（

V

≲

0.7

V

b

i

V \\lesssim 0.7V_{bi}

V≲0.7Vbi​）的情况。在强正向偏置下（

V

→

V

b

i

V \\to V_{bi}

V→Vbi​）：

• 耗尽层近似失效，公式分母趋近于零，预测 $C_b\to \infty$
• 此时扩散电容 $C_d$
• 因此，在正偏导通状态下，总结电容 $C_j=C_b+C_d\approx C_d$

工程应用中的**变容二极管（Varactor）**正是利用反向偏置下势垒电容的压控特性实现调谐功能，此时器件始终工作在反偏区以避免扩散电容的干扰。

常见错误辨析

需特别指出：势垒电容随反向电压的增大而减小 是唯一正确的结论。常见的错误认知主要有两类： （1）混淆势垒电容与扩散电容的电压依赖特性——扩散电容在正向偏置下占主导且随正向电压增大而显著增大，但该特性不适用于势垒电容； （2）忽视公式中电压

V

V

V 的符号约定，误将反向电压代入正值，导致对公式的错误解读。

物理本质总结

本质上，势垒电容的变化源于耗尽层中空间电荷量随电压的调整。此行为可类比于平行板电容器：电容与极板间距成反比，而耗尽层宽度

W

W

W 正好等效于"极板间距"。因此，

W

W

W 增大 →

C

b

C_b

Cb​ 减小；

W

W

W 减小 →

C

b

C_b

Cb​ 增大，这一规律是势垒电容的固有特性。

半导体器件物理：PN 结击穿机制与结电容特性

GuiStar_李什么恩 原创，修订于 2023-03-01 19:35:22

1. PN 结的击穿与电容效应

预备知识：二极管伏安特性

PN 结的电流-电压特性遵循肖克利方程，其典型的伏安特性曲线如图 1 所示，该曲线直观反映了 PN 结在不同外加电压下的导电特性，是分析击穿机制与电容效应的基础。

2. 掺杂浓度对耗尽层特性的影响

2.1 热力学平衡原理

从热力学角度分析，孤立系统总是朝着熵增加的方向演化，即系统会自发地从非平衡态向平衡态过渡，削弱其内部的非均匀性。这一熵增原理在半导体物理中的具体体现为，载流子具有从高浓度区域向低浓度区域扩散的趋势，最终趋于均匀的浓度分布，以削弱浓度的局部不均匀性。

以温度分布为例，热量总是从高温区域流向低温区域，直至系统达到热平衡状态，削弱温度的局部不均匀性；同理，载流子浓度也遵循这一规律，通过扩散运动削弱浓度的局部差异，这是 PN 结耗尽层形成的重要热力学基础。

2.2 掺杂浓度与耗尽层宽度的关系

设

N

A

N_A

NA​ 为受主杂质浓度（P 区），

N

D

N_D

ND​ 为施主杂质浓度（N 区）。根据泊松方程与电荷中性条件，耗尽层宽度

W

W

W 满足：

W

=

x

p

+

x

n

=

2

ε

s

(

V

b

i

−

V

)

q

(

1

N

A

+

1

N

D

)

W = x_p + x_n = \\sqrt{\\frac{2\\varepsilon_s(V_{bi}-V)}{q}\\left(\\frac{1}{N_A}+\\frac{1}{N_D}\\right)}

W=xp​+xn​=q2εs​(Vbi​−V)​(NA​1​+ND​1​)

​

其中

ε

s

\\varepsilon_s

εs​ 为半导体介电常数，

V

b

i

V_{bi}

Vbi​ 为内建电势，

V

V

V 为外加电压，

q

q

q 为电子电荷量；注：外加电压

V

V

V 符号规则为正偏取正、反偏取负，反向偏压时

V

b

i

−

V

V_{bi}-V

Vbi​−V 增大，耗尽层宽度变宽。

由上式及熵增原理的浓度扩散特性可知：

3. PN 结的击穿机制

3.1 雪崩击穿（Avalanche Breakdown）

当反向偏压

V

R

V_R

VR​ 增大时，耗尽层宽度增加，内部电场强度

E

\\mathcal{E}

E 增强。在此强电场作用下，漂移通过耗尽层的载流子（主要为少数载流子，内建电场对多子起阻碍作用，对少子起加速作用）获得足够动能，与晶格原子发生碰撞电离（impact ionization），产生电子-空穴对。

新生成的电子-空穴对在电场加速下继续发生碰撞电离，引发链式反应，形成载流子的倍增效应（multiplication）。当倍增因子

M

M

M 趋于无穷时，反向电流急剧增大，定义此时发生雪崩击穿。

击穿电压

V

B

R

V_{BR}

VBR​ 与掺杂浓度的经验关系为：

V

B

R

∝

1

N

0.75

V_{BR} \\propto \\frac{1}{N^{0.75}}

VBR​∝N0.751​

因此，雪崩击穿通常发生在低掺杂浓度的 PN 结中，此时耗尽层较宽，载流子有足够的加速距离获得足够能量以引发碰撞电离，满足链式反应的发生条件。

3.2 齐纳击穿（Zener Breakdown）

当掺杂浓度较高（通常

≥

10

17

c

m

−

3

\\ge10^{17} \\,\\mathrm{cm}^{-3}

≥1017cm−3，高掺杂时

>

10

18

c

m

−

3

>10^{18} \\,\\mathrm{cm}^{-3}

>1018cm−3）时，耗尽层宽度很窄（

<

10
 

n

m

<10 \\,\\mathrm{nm}

<10nm），即使较小的反向电压也能建立极强的电场（

>

10

6

V

/

c

m

>10^6 \\,\\mathrm{V/cm}

>106V/cm，即

>

10

8

V

/

m

>10^8 \\,\\mathrm{V/m}

>108V/m）。

在此强场作用下，直接破坏耗尽层中中性原子的共价键（场致电离），或使价带电子通过量子隧穿效应直接穿越禁带进入导带，产生大量电子-空穴对，导致反向电流急剧增大，该机制称为齐纳击穿或隧穿击穿。

齐纳击穿电压与掺杂浓度的关系表现为：随掺杂浓度增加，击穿电压降低。这是因为掺杂浓度越高，耗尽层越窄，所需反向电压越小即可建立起引发齐纳击穿的强电场。

3.3 两种击穿机制的比较

两种击穿机制均属于 PN 结反向击穿现象，在实际器件中可能同时存在，仅因掺杂浓度不同而表现出不同的主导机制。二者的具体特征对比如下表所示：

对于硅 PN 结，当击穿电压

V

B

R

<

4.5
 

V

V_{BR} < 4.5 \\,\\mathrm{V}

VBR​<4.5V 时以齐纳击穿为主；当

V

B

R

>

6.5
 

V

V_{BR} > 6.5 \\,\\mathrm{V}

VBR​>6.5V 时以雪崩击穿为主；中间区域为两种机制的混合区。

4. PN 结的电容特性

PN 结的电容效应由势垒电容

C

j

C_j

Cj​（结电容）和扩散电容

C

d

C_d

Cd​ 两部分组成，二者源于不同的物理机制，在不同偏置条件下表现出不同的主导作用，共同决定 PN 结的高频特性。

4.1 势垒电容（Barrier Capacitance）

势垒电容源于耗尽层内空间电荷随外加电压的变化。耗尽层中主要为不可移动的电离杂质电荷，当外加电压变化时，耗尽层宽度随之改变，空间电荷总量也相应变化，这一充放电过程等效为电容效应，根据定义其电容值为：

C

j

=

∣

d

Q

d

V

∣

=

ε

s

A

W

C_j = \\left|\\frac{dQ}{dV}\\right| = \\frac{\\varepsilon_s A}{W}

Cj​=

​dVdQ​

​=Wεs​A​

其中

A

A

A 为结面积，

W

W

W 为耗尽层宽度。

对于突变结，势垒电容与偏压的关系为：

C

j

=

C

j

0

(

1

−

V

V

b

i

)

m

C_j = \\frac{C_{j0}}{\\left(1-\\frac{V}{V_{bi}}\\right)^m}

Cj​=(1−Vbi​V​)mCj0​​

其中

C

j

0

C_{j0}

Cj0​ 为零偏压时的结电容，

m

m

m 为梯度系数（突变结

m

=

1

/

2

m=1/2

m=1/2，线性缓变结

m

=

1

/

3

m=1/3

m=1/3）。

特性分析：

• 反偏时，

  W

  W

  W 随

  ∣

  V

  R

  ∣

  |V_R|

  ∣VR​∣ 增大而增宽，空间电荷总量变化率减小，

  C

  j

  C_j

  Cj​ 随之减小；

• 正偏时，

  W

  W

  W 变窄，

  C

  j

  C_j

  Cj​ 增大，但此时扩散电容占主导地位，势垒电容可忽略不计（仅中高电流正偏条件下适用）。

4.2 扩散电容（Diffusion Capacitance）

扩散电容源于正偏压下少子的注入与存储效应。PN 结正偏时，内建电场被削弱，大量少子越过势垒注入对方区域，在扩散区形成从耗尽层交界面指向远离交界面的递减浓度梯度。

该非平衡少子浓度梯度随外加正偏电压的变化而变化，电压增大时浓度梯度增大，扩散区存储的少子电荷总量也相应增加，这一充放电过程等效为电容效应，定义扩散电容为少子电荷随电压的变化率：

C

d

=

d

Q

p

d

V

=

τ

I

η

V

T

C_d = \\frac{dQ_p}{dV} = \\frac{\\tau I}{\\eta V_T}

Cd​=dVdQp​​=ηVT​τI​

其中

τ

\\tau

τ 为少子寿命，

I

I

I 为正向电流，

V

T

=

k

T

/

q

V_T = kT/q

VT​=kT/q 为热电压，

η

\\eta

η 为理想因子（

1

∼

2

1 \\sim 2

1∼2）；该公式仅适用于低频小信号条件。

4.3 两种电容的比较

势垒电容与扩散电容的物理本质、特性存在显著差异，具体对比如下表所示：

PN 结的总电容为二者之和，即

C

t

o

t

a

l

=

C

j

+

C

d

C_{total} = C_j + C_d

Ctotal​=Cj​+Cd​，实际应用中可根据工作点选择主导电容分量：反偏或低频小信号正偏条件下，

C

j

C_j

Cj​ 占主导；大电流正偏条件下，

C

d

C_d

Cd​ 显著增大并成为主要电容分量。

电场强度、电势以及 PN 结耗尽层宽度

猫的麦克斯韦 原创 2023-05-10 21:51:50 修订

1. 引言

本文系统阐述 PN 结耗尽层的基本物理特性，重点推导耗尽层内电场强度、静电电势的分布规律，并建立耗尽层宽度与掺杂浓度、内建电势之间的定量关系。分析基于突变结近似（abrupt junction approximation），即假设空间电荷区边界处杂质浓度发生理想突变，如图 1 所示。坐标系采用一维直角坐标系，冶金结界面位于

x

=

0

x = 0

x=0，P 区耗尽层边界位于

x

=

−

X

p

x = -X_p

x=−Xp​，N 区耗尽层边界位于

x

=

+

X

n

x = +X_n

x=+Xn​。

图 1　PN 结空间电荷区结构与坐标系示意图

2. 泊松方程与电荷分布

2.1 基本控制方程

半导体内静电势

ϕ

(

x

)

\\phi(x)

ϕ(x) 与空间电荷密度

ρ

(

x

)

\\rho(x)

ρ(x) 满足一维泊松方程：

d

2

ϕ

(

x

)

d

x

2

=

d

d

x

(

d

ϕ

(

x

)

d

x

)

⏟

=

−

E

(

x

)

=

d

d

x

[

−

E

(

x

)

]

=

−

d

E

(

x

)

d

x

=

−

ρ

(

x

)

ε

s

\\frac{\\mathrm{d}^{2}\\phi(x)}{\\mathrm{d}x^{2}} = \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}\\underbrace{\\left(\\frac{\\mathrm{d}\\phi(x)}{\\mathrm{d}x}\\right)}_{=-E(x)} = \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}x}[-E(x)] = -\\frac{\\mathrm{d}E(x)}{\\mathrm{d}x} = -\\frac{\\rho(x)}{\\varepsilon_s}

dx2d2ϕ(x)​=dxd​=−E(x)

(dxdϕ(x)​)​​=dxd​[−E(x)]=−dxdE(x)​=−εs​ρ(x)​

其中，电势的二阶导数等于电场一阶导数的负值，

E

(

x

)

E(x)

E(x) 为电场强度，

ε

s

\\varepsilon_{s}

εs​ 为半导体材料的介电常数。

2.2 耗尽区电荷分布

在耗尽层近似（depletion approximation）下，耗尽区内载流子完全耗尽，空间电荷密度等于电离杂质电荷密度。因此，

ρ

(

x

)

\\rho(x)

ρ(x) 可用分段函数表示为：

ρ

(

x

)

=

{

−

q

N

A

,

−

X

p

<

x

<

0

+

q

N

D

,

0

<

x

<

X

n

\\rho(x) = \\begin{cases} -qN_{A}, & -X_{p} < x < 0 \\\\ +qN_{D}, & 0 < x < X_{n} \\end{cases}

ρ(x)={−qNA​,+qND​,​−Xp​<x<00<x<Xn​​

式中，

q

q

q 为电子电荷量的绝对值（

q

>

0

q > 0

q>0），

N

A

N_{A}

NA​ 和

N

D

N_{D}

ND​ 分别为 P 侧受主掺杂浓度与 N 侧施主掺杂浓度。

3. 电场强度分布

3.1 电场强度的推导

对泊松方程积分求解电场强度

E

(

x

)

E(x)

E(x)。根据热平衡条件，电中性区（

x

<

−

X

p

x < -X_{p}

x<−Xp​ 与

x

>

X

n

x > X_{n}

x>Xn​）内电场强度为零。利用边界条件

E

(

−

X

p

)

=

0

E(-X_{p}) = 0

E(−Xp​)=0 与

E

(

X

n

)

=

0

E(X_{n}) = 0

E(Xn​)=0 确定积分常数，并保证冶金结处（

x

=

0

x = 0

x=0）电场强度连续，可得：

E

(

x

)

=

{

−

q

N

A

ε

s

(

x

+

X

p

)

,

−

X

p

≤

x

≤

0

−

q

N

D

ε

s

(

X

n

−

x

)

,

0

≤

x

≤

X

n

E(x) = \\begin{cases} -\\dfrac{qN_{A}}{\\varepsilon_{s}}(x + X_{p}), & -X_{p} \\leq x \\leq 0 \\\\[16pt] -\\dfrac{qN_{D}}{\\varepsilon_{s}}(X_{n} – x), & 0 \\leq x \\leq X_{n} \\end{cases}

E(x)=⎩

⎨

⎧​−εs​qNA​​(x+Xp​),−εs​qND​​(Xn​−x),​−Xp​≤x≤00≤x≤Xn​​

3.2 电荷中性条件

由

E

(

0

−

)

=

E

(

0

+

)

E(0^{-}) = E(0^{+})

E(0−)=E(0+) 可得：

N

A

X

p

=

N

D

X

n

N_{A}X_{p} = N_{D}X_{n}

NA​Xp​=ND​Xn​

该式表明，P 区单位面积内受主离子总电荷量与 N 区单位面积内施主离子总电荷量相等，保证整个器件的空间电中性。冶金结界面处电场强度达到最大值

E

max

⁡

=

−

q

N

A

X

p

ε

s

=

−

q

N

D

X

n

ε

s

E_{\\max} = -\\dfrac{qN_{A}X_{p}}{\\varepsilon_{s}} = -\\dfrac{qN_{D}X_{n}}{\\varepsilon_{s}}

Emax​=−εs​qNA​Xp​​=−εs​qND​Xn​​

电场强度分布呈三角形，如图 2 所示。

图 2　PN 结耗尽层电场强度分布示意图

4. 电势分布

4.1 静电势的积分求解

以 P 区电中性区边界为电势参考点，设

ϕ

(

−

X

p

)

=

0

\\phi(-X_{p}) = 0

ϕ(−Xp​)=0。对电场强度

E

(

x

)

E(x)

E(x) 进行分段积分，并保证

x

=

0

x = 0

x=0 处电势连续，可得耗尽层内电势分布：

ϕ

(

x

)

=

{

q

N

A

2

ε

s

(

x

+

X

p

)

2

,

−

X

p

≤

x

≤

0

q

N

D

2

ε

s

(

X

n

x

−

x

2

2

)

+

q

N

A

2

ε

s

X

p

2

,

0

≤

x

≤

X

n

\\phi(x) = \\begin{cases} \\dfrac{qN_{A}}{2\\varepsilon_{s}}(x + X_{p})^{2}, &-X_{p} \\leq x \\leq 0 \\\\[16pt] \\dfrac{qN_{D}}{2\\varepsilon_{s}}\\left(X_{n}x – \\dfrac{x^{2}}{2}\\right) + \\dfrac{qN_{A}}{2\\varepsilon_{s}}X_{p}^{2}, & 0 \\leq x \\leq X_{n} \\end{cases}

ϕ(x)=⎩

⎨

⎧​2εs​qNA​​(x+Xp​)2,2εs​qND​​(Xn​x−2x2​)+2εs​qNA​​Xp2​,​−Xp​≤x≤00≤x≤Xn​​

电势分布曲线如图 3 所示，呈抛物线型。

图 3　PN 结耗尽层电势分布示意图

在 P 型半导体一侧，耗尽层边界（与电中性区交界处）的电势被定义为零电位。 即：

ϕ

(

x

)

∣

x

=

−

X

p

=

0

\\phi(x)\\bigg|_{x=-X_p} = 0

ϕ(x)

​x=−Xp​​=0

5. 内建电势与耗尽层宽度

5.1 内建电势表达式

x

=

X

n

x = X_{n}

x=Xn​ 处的电势绝对值即为 PN 结的内建电势（built-in potential）

V

b

i

V_{bi}

Vbi​：

V

b

i

=

ϕ

(

X

n

)

=

q

2

ε

s

(

N

D

X

n

2

+

N

A

X

p

2

)

V_{bi} = \\phi(X_{n}) = \\dfrac{q}{2\\varepsilon_{s}}\\left(N_{D}X_{n}^{2} + N_{A}X_{p}^{2}\\right)

Vbi​=ϕ(Xn​)=2εs​q​(ND​Xn2​+NA​Xp2​)

5.2 耗尽层宽度公式

联立电荷中性条件

N

A

X

p

=

N

D

X

n

N_{A}X_{p} = N_{D}X_{n}

NA​Xp​=ND​Xn​ 与内建电势表达式，可解得 N 侧与 P 侧耗尽层宽度分别为：

X

n

=

2

ε

s

V

b

i

q

⋅

N

A

N

D

(

N

A

+

N

D

)

X

p

=

2

ε

s

V

b

i

q

⋅

N

D

N

A

(

N

A

+

N

D

)

\\begin{aligned} X_{n} = \\sqrt{\\dfrac{2\\varepsilon_{s}V_{bi}}{q} \\cdot \\dfrac{N_{A}}{N_{D}(N_{A} + N_{D})}} \\\\ X_{p} = \\sqrt{\\dfrac{2\\varepsilon_{s}V_{bi}}{q} \\cdot \\dfrac{N_{D}}{N_{A}(N_{A} + N_{D})}} \\end{aligned}

Xn​=q2εs​Vbi​​⋅ND​(NA​+ND​)NA​​

​Xp​=q2εs​Vbi​​⋅NA​(NA​+ND​)ND​​

​​

耗尽层总宽度

W

=

X

n

+

X

p

W = X_{n} + X_{p}

W=Xn​+Xp​ 可简化为：

W

=

2

ε

s

V

b

i

q

(

1

N

A

+

1

N

D

)

=

2

ε

s

V

b

i

q

⋅

N

A

+

N

D

N

A

N

D

W = \\sqrt{\\dfrac{2\\varepsilon_{s}V_{bi}}{q}\\left(\\dfrac{1}{N_{A}} + \\dfrac{1}{N_{D}}\\right)} = \\sqrt{\\dfrac{2\\varepsilon_{s}V_{bi}}{q} \\cdot \\dfrac{N_{A} + N_{D}}{N_{A}N_{D}}}

W=q2εs​Vbi​​(NA​1​+ND​1​)

​=q2εs​Vbi​​⋅NA​ND​NA​+ND​​

​

6. 外加偏置电压对耗尽层的影响

6.1 偏置条件与边界设定

当 PN 结施加外部直流偏置电压

V

V

V 时，热平衡被打破。为统一分析，采用如下电压极性约定：

• 正向偏置（P 区接正、N 区接负）：$V>0$
• 反向偏置（P 区接负、N 区接正）：$V<0$

此时，耗尽层两侧的总电势差由平衡态的内建电势

V

b

i

V_{\\mathrm{bi}}

Vbi​ 变为有效势垒高度

(

V

b

i

−

V

)

(V_{\\mathrm{bi}} – V)

(Vbi​−V)。

选取 P 区中性区边界

x

=

−

X

p

x = -X_p

x=−Xp​ 作为电势参考点，即

ϕ

(

−

X

p

)

=

0

\\phi(-X_p) = 0

ϕ(−Xp​)=0。根据静电场连续性，冶金结界面

x

=

0

x = 0

x=0 处电势连续：

ϕ

(

0

−

)

=

ϕ

(

0

+

)

=

ϕ

(

0

)

.

\\phi(0^-) = \\phi(0^+) = \\phi(0).

ϕ(0−)=ϕ(0+)=ϕ(0).

6.2 耗尽层宽度的表达式

在耗尽层近似下，空间电荷区内电荷密度为常数：

• P 区：$\rho =-q{N}_A$
• N 区：$\rho =+q{N}_D$

其中

N

A

N_A

NA​、

N

D

N_D

ND​ 为受主与施主掺杂浓度（取正值），

q

q

q 为基本电荷量。泊松方程在各区退化为分段线性的二阶微分方程。由于方程具有线性特性，非平衡态下的解可直接由平衡态形式推广，仅需将

V

b

i

V_{\\mathrm{bi}}

Vbi​ 替换为

(

V

b

i

−

V

)

(V_{\\mathrm{bi}} – V)

(Vbi​−V)。

由此得到总耗尽层宽度：

W

(

V

)

=

2

ε

s

(

V

b

i

−

V

)

q

⋅

N

A

+

N

D

N

A

N

D

,

W(V) = \\sqrt{ \\frac{2\\varepsilon_s (V_{\\mathrm{bi}} – V)}{q} \\cdot \\frac{N_A + N_D}{N_A N_D} },

W(V)=q2εs​(Vbi​−V)​⋅NA​ND​NA​+ND​​

​, 其中

ε

s

\\varepsilon_s

εs​ 为半导体介电常数。

内建电势

V

b

i

V_{\\mathrm{bi}}

Vbi​ 由材料参数决定：

V

b

i

=

k

T

q

ln

⁡

!

(

N

A

N

D

n

i

2

)

,

V_{\\mathrm{bi}} = \\frac{kT}{q} \\ln!\\left( \\frac{N_A N_D}{n_i^2} \\right),

Vbi​=qkT​ln!(ni2​NA​ND​​), 其中

k

k

k 为玻尔兹曼常数，

T

T

T 为绝对温度，

n

i

n_i

ni​ 为本征载流子浓度。

6.3 分区宽度与物理行为

由耗尽区内电中性条件（P 区负电荷总量等于 N 区正电荷总量）：

q

N

A

X

p

=

q

N

D

X

n

,

q N_A X_p = q N_D X_n,

qNA​Xp​=qND​Xn​,

可得耗尽层在 P 区和 N 区的分区宽度：

X

p

(

V

)

=

N

D

N

A

+

N

D

,

W

(

V

)

,

X

n

(

V

)

=

N

A

N

A

+

N

D

,

W

(

V

)

.

X_p(V) = \\frac{N_D}{N_A + N_D} , W(V), \\quad X_n(V) = \\frac{N_A}{N_A + N_D} , W(V).

Xp​(V)=NA​+ND​ND​​,W(V),Xn​(V)=NA​+ND​NA​​,W(V).

物理规律总结：

• 正向偏置（$V>0$
• 反向偏置（$V<0$
• 非对称扩展特性： 耗尽层主要向低掺杂一侧延伸。若 $N_A\gg N_D$

附录：积分运算基础

本文所涉及的积分运算基于以下基本公式：img 图 4　积分运算基础公式

一、幂函数与指数函数

二、三角函数

三、反三角函数与代数函数