点云配准之-ColorICP中公式详细推导

相关内容： 1、点云配准之-Colored Point Cloud Registration（ColorICP）

一、计算梯度

计算梯度

d_p

$d_{p}$ 的最小二乘目标函数为：

(

)

∑

′

∈

(

′

)

−

)

−

(

′

)

≈

∑

′

∈

(

)

⊤

(

′

)

−

)

−

(

′

)

(10)

L(d_p) = \\sum_{p' \\in N_p} \\big(C_p(f(p') – p) – C(p')\\big)^2 \\approx \\sum_{p' \\in N_p} \\big(C(p) + d_p^\\top(f(p') – p) – C(p')\\big)^2, \\tag{10}

$L (d_{p}) = p^{'} \in N_{p} \sum (C_{p} (f (p^{'}) - p) - C (p^{'}))^{2} \approx p^{'} \in N_{p} \sum (C (p) + d_{p}^{⊤} (f (p^{'}) - p) - C (p^{'}))^{2}, (10)$

同时约束

⊤

d_p^\\top n_p = 0

$d_{p}^{⊤} n_{p} = 0$ 。

实现代码片段如下：

for (int i = 0; i < frame::size(*frame); i++) {
// Estimate color gradient
const auto& point = frame::point(*frame, i);
const auto& normal = frame::normal(*frame, i);
const double intensity = frame::intensity(*frame, i);

Eigen::Matrix<double, –1, 4> A = Eigen::Matrix<double, –1, 4>::Zero(k_photo_neighbors, 4);
Eigen::VectorXd b = Eigen::VectorXd::Zero(k_photo_neighbors);

// dp^T np = 0
A.row(0) = normal;
b[0] = 0.0;

// Intensity gradient in the tangent space
for (int j = 1; j < k_photo_neighbors; j++) {
const int index = neighbors[k * i + j];
const auto& point_ = frame::point(*frame, index);
const double intensity_ = frame::intensity(*frame, index);
const Eigen::Vector4d projected = point_ – (point_ – point).dot(normal) * normal;
A.row(j) = projected – point;
b(j) = (intensity_ – intensity);
}

Eigen::Matrix3d H = (A.transpose() * A).block<3, 3>(0, 0);
Eigen::Vector3d e = (A.transpose() * b).head<3>();
gradients->intensity_gradients[i] << H.inverse() * e, 0.0;
}

一、符号与背景先说明

上面公式10是 ColorICP中强度梯度估计或光度一致性建模的标准形式。ColorICP

1 点与邻域

$\\in \\mathbb{R}^3 p∈R3：当前点$
$N_p Np：点 p p p 的邻域$
$\\in N_p p′∈Np：邻居点$

2 强度函数

C

(

⋅

)

C(\\cdot)

$C (\cdot)$ ：强度（Intensity / Color）函数
- LiDAR：反射强度
- RGB-D：像素亮度

3 映射函数 $f(\\cdot) f(⋅)$

在实现的代码中，本质是：

(

′

)

≈

邻居点在切平面上的投影

f(p') \\approx \\text{邻居点在切平面上的投影}

$f (p^{'}) \approx 邻居点在切平面上的投影$

4 梯度变量

$d_p \\in \\mathbb{R}^3 dp∈R3：点 p p p 处的强度梯度$

∇

(

)

d_p = \\nabla C(p)

$d_{p} = \nabla C (p)$

二、原始代价函数（非线性）

给出的第一行是真实但不可直接解的形式：

(

)

∑

′

∈

(

′

)

−

)

−

(

′

)

L(d_p)= \\sum_{p' \\in N_p} \\Big( C_p(f(p') – p) – C(p') \\Big)^2

$L (d_{p}) = p^{'} \in N_{p} \sum (C_{p} (f (p^{'}) - p) - C (p^{'}))^{2}$

解释：

C

p

(

⋅

)

C_p(\\cdot)

$C_{p} (\cdot)$ ：在点

p

p

$p$ 处定义的局部强度函数
希望：

用

p

p

$p$ 处的局部模型，去拟合邻居点

p

′

p'

$p^{'}$ 的强度

三、一阶泰勒展开（关键步骤）

目标

近似：

(

′

)

−

)

C_p(f(p') – p)

$C_{p} (f (p^{'}) - p)$

在

(

)

≈

(

)

∇

(

)

⊤

C(p + \\Delta p) \\approx C(p) + \\nabla C(p)^\\top \\Delta p

$C (p + Δ p) \approx C (p) + \nabla C (p)^{⊤} Δ p$

其中：

(

′

)

−

\\Delta p = f(p') – p

$Δ p = f (p^{'}) - p$

代入得到

(

′

)

−

)

≈

(

)

⊤

(

′

)

−

)

C_p(f(p') – p) \\approx C(p) + d_p^\\top (f(p') – p)

$C_{p} (f (p^{'}) - p) \approx C (p) + d_{p}^{⊤} (f (p^{'}) - p)$

其中：

∇

(

)

d_p = \\nabla C(p)

$d_{p} = \nabla C (p)$

四、代入原始代价函数

将近似结果代入原式：

(

)

∑

′

∈

(

′

)

−

)

−

(

′

)

≈

∑

′

∈

(

)

⊤

(

′

)

−

)

−

(

′

)

\\begin{aligned} L(d_p) &= \\sum_{p' \\in N_p} \\Big( C_p(f(p') – p) – C(p') \\Big)^2 \\ &\\approx \\sum_{p' \\in N_p} \\Big( C(p) + d_p^\\top (f(p') – p) – C(p') \\Big)^2 \\end{aligned}

$L (d_{p}) = p^{'} \in N_{p} \sum (C_{p} (f (p^{'}) - p) - C (p^{'}))^{2} \approx p^{'} \in N_{p} \sum (C (p) + d_{p}^{⊤} (f (p^{'}) - p) - C (p^{'}))^{2}$

这正是原文中给出的公式 (10)。

推导完成

五、把公式 (10) 改写成标准最小二乘形式

这是理解代码和实现的关键。

定义残差

对每个邻点

′

$p^{'}$ ：

′

(

)

(

)

⊤

(

′

)

−

)

−

(

′

)

r_{p'}(d_p)= C(p) + d_p^\\top (f(p') – p) – C(p')

$r_{p^{'}} (d_{p}) = C (p) + d_{p}^{⊤} (f (p^{'}) - p) - C (p^{'})$

堆叠成线性系统

记：

′

(

′

)

−

)

⊤

∈

A_{p'} = (f(p') – p)^\\top \\in \\mathbb{R}^{1 \\times 3}

$A_{p^{'}} = (f (p^{'}) - p)^{⊤} \in R^{1 \times 3}$

′

(

′

)

−

(

)

b_{p'} = C(p') – C(p)

$b_{p^{'}} = C (p^{'}) - C (p)$

则：

′

−

′

r_{p'} = A_{p'} d_p – b_{p'}

$r_{p^{'}} = A_{p^{'}} d_{p} - b_{p^{'}}$

最小二乘问题

min

⁡

∑

′

∈

∣

′

−

′

∣

\\min_{d_p} \\sum_{p' \\in N_p} \\left| A_{p'} d_p – b_{p'} \\right|^2

$d_{p} min p^{'} \in N_{p} \sum ∣ A_{p^{'}} d_{p} - b_{p^{'}} ∣^{2}$

写成矩阵形式

min

⁡

∣

−

∣

\\min_{d_p} \\left| A d_p – b \\right|^2

$d_{p} min ∣ A d_{p} - b ∣^{2}$

正规方程

⊤

A^\\top A d_p = A^\\top b

$A^{⊤} A d_{p} = A^{⊤} b$

六、切平面约束

在实现的代码和论文中，一定还有这一条：

⊤

n_p^\\top d_p = 0

$n_{p}^{⊤} d_{p} = 0$

原因

强度变化只在表面切平面内有意义
法向方向是深度方向，光度变化不可靠

合并约束后的系统

[

⊤

(

)

−

)

⊤

⋮

]

[

(

)

−

(

)

⋮

]

\\begin{bmatrix} n_p^\\top \\ (f(p_1) – p)^\\top \\\\ \\vdots \\end{bmatrix} d_p= \\begin{bmatrix} 0 \\\\ C(p_1) – C(p) \\\\ \\vdots \\end{bmatrix}

$[n_{p}^{⊤} (f (p_{1}) - p)^{⊤} ⋮] d_{p} =$

0C(p1)−C(p)⋮

对应代码中：

A.row(0) = normal;
b(0) = 0;

七、代码中的一一对应关系

数学代码

$d_p dp$	intensity_gradient[i].head<3>()
	projected – point
	intensity_ – intensity
切平面约束	A.row(0) = normal

八、模型的物理意义

用邻域点的强度差，在线性近似下拟合出“表面上的强度变化方向”，这就是光度梯度。

二、光度雅克比计算

原文对公式如下：

∇

(

)

(

)

∂

(

∘

)

∂

∇

(

)

(

)

(

)

(28–29)

\\nabla r_C^{(p,q)}(T) = \\frac{\\partial (C_p \\circ f \\circ s)}{\\partial \\xi_i} = \\nabla C_p(f), J_f(s), J_s(\\xi) \\tag{28–29}

$\nabla r_{C}^{(p, q)} (T) = \frac{\partial ( C _{p} \circ f \circ s )}{\partial ξ _{i}} = \nabla C_{p} (f), J_{f} (s), J_{s} (ξ) (28-29)$

一、问题回顾与符号统一

光度残差定义为（公式 18）：

(

)

(

)

(

)

−

(

)

r_C^{(p,q)}(T) = C_p\\big(f(s(q,T))\\big) – C(q)

$r_{C}^{(p, q)} (T) = C_{p} (f (s (q, T))) - C (q)$

其中：

$\\in Q q∈Q：源点云中的点$
$\\in P p∈P：目标点云中的对应点$
$f(\\cdot) f(⋅)：将 3D 点投影到 p p p 的切平面$
$C_p(\\cdot) Cp(⋅)：定义在切平面上的连续颜色函数$

优化变量只有

$T$ （或其最小参数

\\xi

$ξ$ ）

因此求导时：

∇

(

)

(

)

∂

(

)

\\nabla r_C^{(p,q)}(T) = \\frac{\\partial}{\\partial \\xi}C_p\\big(f(s(q,T))\\big)

$\nabla r_{C}^{(p, q)} (T) = \frac{\partial}{\partial ξ} C_{p} (f (s (q, T)))$

二、函数复合结构（关键）

我们先把残差写成复合函数形式：

(

)

(

)

(

∘

)

(

)

r_C^{(p,q)}(T) = (C_p \\circ f \\circ s)(q,T)

$r_{C}^{(p, q)} (T) = (C_{p} \circ f \circ s) (q, T)$

对应的函数链是：

→

(

)

→

(

)

→

(

)

\\xi \\xrightarrow{ s } s(q,\\xi) \\xrightarrow{ f } f(s(q,\\xi)) \\xrightarrow{ C_p } C_p(f(s(q,\\xi)))

$ξ s$

s(q,ξ)f

f(s(q,ξ))Cp

Cp(f(s(q,ξ)))

这是一个典型的三层复合函数，因此直接使用链式法则。

三、第一步：最外层求导（颜色函数）

1 局部颜色函数的一阶形式

在上节中，

(

)

C_p(u)

$C_{p} (u)$ 被一阶近似为：

(

)

≈

(

)

⊤

C_p(u) \\approx C(p) + d_p^\\top u

$C_{p} (u) \approx C (p) + d_{p}^{⊤} u$

因此其梯度为常量向量：

∇

(

)

∈

\\nabla C_p(u) = d_p \\in \\mathbb{R}^{1 \\times 2}

$\nabla C_{p} (u) = d_{p} \in R^{1 \times 2}$

注意：

$u$ 是切平面坐标（2D），但嵌入在 3D 空间中

2 对中间变量求导

设：

(

)

y = f(s(q,\\xi))

$y = f (s (q, ξ))$

则：

∂

(

)

∇

(

)

\\frac{\\partial}{\\partial y} C_p(y) = \\nabla C_p(y) = d_p

$\frac{\partial}{\partial y} C_{p} (y) = \nabla C_{p} (y) = d_{p}$

四、第二步：切平面投影函数

投影函数回顾（公式 9）

(

)

−

(

−

)

⊤

f(s) = s – n_p (s – p)^\\top n_p

$f (s) = s - n_{p} (s - p)^{⊤} n_{p}$

整理为：

(

)

(

−

⊤

)

⊤

f(s) = \\big(I – n_p n_p^\\top\\big)s + n_p n_p^\\top p

$f (s) = (I - n_{p} n_{p}^{⊤}) s + n_{p} n_{p}^{⊤} p$

其中：

$n_p np 是常量（点 p p p 的法向）$

Jacobian $J_f(s) Jf(s)$

对

$s$ 求导：

(

)

∂

−

⊤

J_f(s) = \\frac{\\partial f}{\\partial s} = I – n_p n_p^\\top

$J_{f} (s) = \frac{\partial f}{\partial s} = I - n_{p} n_{p}^{⊤}$

这是一个

3\\times3

$3 \times 3$ 的投影矩阵，将向量投影到切平面。

五、第三步：刚性变换 $s(q,\\xi) s(q,ξ) 的 Jacobian$

1 刚性变换形式

刚性变换写作：

(

)

(

)

(

)

s(q,\\xi) = R(\\xi)q + t(\\xi)

$s (q, ξ) = R (ξ) q + t (ξ)$

在 Gauss–Newton 中，

(

)

R(\\xi)

$R (ξ)$ 在

T_k

$T_{k}$ 附近线性化：

(

)

≈

[

]

R(\\xi) \\approx I + [\\omega]_\\times

$R (ξ) \approx I + [ω]_{\times}$

因此：

(

)

≈

s(q,\\xi) \\approx q + \\omega \\times q + t

$s (q, ξ) \approx q + ω \times q + t$

2 对 $\\xi = (\\alpha,\\beta,\\gamma,a,b,c) ξ=(α,β,γ,a,b,c) 求导$

Jacobian 为：

(

)

∂

(

)

∂

[

−

]

J_s(\\xi) = \\frac{\\partial s(q,\\xi)}{\\partial \\xi} \\begin{bmatrix} 0 & q_z & -q_y & 1 & 0 & 0 \\\\ -q_z & 0 & q_x & 0 & 1 & 0 \\\\ q_y & -q_x & 0 & 0 & 0 & 1 \\end{bmatrix}

$J_{s} (ξ) = \frac{\partial s ( q , ξ )}{\partial ξ}$

0−qzqyqz0−qx−qyqx0100010001

这是标准的 SE(3) 点 Jacobian。

六、完整链式法则推导

将三部分串起来：

∇

(

)

(

)

∂

∇

(

)

(

)

(

)

\\begin{aligned} \\nabla r_C^{(p,q)}(T) &= \\frac{\\partial C_p}{\\partial f} \\frac{\\partial f}{\\partial s} \\frac{\\partial s}{\\partial \\xi} &= \\nabla C_p(f) J_f(s) J_s(\\xi) \\end{aligned}

$\nabla r_{C}^{(p, q)} (T) = \frac{\partial C _{p}}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial ξ} = \nabla C_{p} (f) J_{f} (s) J_{s} (ξ)$

即得到论文中的公式：

∇

(

)

(

)

∇

(

)

(

)

(

)

\\boxed{ \\nabla r_C^{(p,q)}(T) = \\nabla C_p(f) J_f(s)J_s(\\xi) }

$\nabla r_{C}^{(p, q)} (T) = \nabla C_{p} (f) J_{f} (s) J_{s} (ξ)$

七、维度检查

项维度

$\\nabla C_p(f)=d_p ∇Cp(f)=dp$	$\\times 3 1×3$
$J_f(s) Jf(s)$	$\\times 3 3×3$
$J_s(\\xi) Js(ξ)$	$\\times 6 3×6$
最终 Jacobian	$\\times 6 1×6$

完全符合 Gauss-Newton 所需的残差 Jacobian。

八、总结

光度残差对位姿的导数 = 颜色变化方向 × 切平面投影 × 位姿扰动对点位置的影响

九、工程实现提示

在代码中通常这样实现：

// dp: 1×3
// Jf: 3×3 = I – np*np^T
// Js: 3×6
JrC = dp * Jf * Js;

其中：

dp：预处理阶段计算
Jf：每个 correspondence 固定
Js：依赖当前点 q

三、几何雅克比计算

原文对应公式如下：

∇

(

)

(

)

⊤

(

)

(30)

\\nabla r_G^{(p,q)}(T) = n_p^\\top J_s(\\xi) \\tag{30}

$\nabla r_{G}^{(p, q)} (T) = n_{p}^{⊤} J_{s} (ξ) (30)$

一、从几何残差的定义出发

几何残差定义（公式 19）为：

(

)

(

)

(

)

−

)

⊤

r_G^{(p,q)}(T) = \\big(s(q,T) – p\\big)^\\top n_p

$r_{G}^{(p, q)} (T) = (s (q, T) - p)^{⊤} n_{p}$

其中：

$n_p np：点 p p p 的法向量（常量）$

优化变量只有

$T$ （或其最小参数

\\xi

$ξ$ ）

二、去掉与优化无关的常量项

将残差展开：

(

)

(

)

⊤

(

)

−

⊤

\\begin{aligned} r_G^{(p,q)}(T) &= n_p^\\top s(q,T) – n_p^\\top p \\end{aligned}

$r_{G}^{(p, q)} (T) = n_{p}^{⊤} s (q, T) - n_{p}^{⊤} p$

由于

$p$ 和

n_p

$n_{p}$ 都是常量：

∂

(

⊤

)

\\frac{\\partial}{\\partial \\xi}\\big(n_p^\\top p\\big) = 0

$\frac{\partial}{\partial ξ} (n_{p}^{⊤} p) = 0$

因此：

∇

(

)

(

)

∂

(

⊤

(

)

\\nabla r_G^{(p,q)}(T) = \\frac{\\partial}{\\partial \\xi}\\big(n_p^\\top s(q,T)\\big)

$\nabla r_{G}^{(p, q)} (T) = \frac{\partial}{\partial ξ} (n_{p}^{⊤} s (q, T))$

三、明确函数结构

这是一个线性形式 + 刚性变换的组合：

(

)

(

)

⊤

(

)

r_G^{(p,q)}(T) = n_p^\\top s(q,\\xi)

$r_{G}^{(p, q)} (T) = n_{p}^{⊤} s (q, ξ)$

可视为复合函数：

→

(

)

→

⊤

(

⋅

)

⊤

(

)

\\xi \\xrightarrow{ s } s(q,\\xi) \\xrightarrow{ n_p^\\top(\\cdot) } n_p^\\top s(q,\\xi)

$ξ s$

s(q,ξ)np⊤(⋅)

np⊤s(q,ξ)

四、对刚性变换 $s(q,\\xi) s(q,ξ) 求导$

1 刚性变换回顾

局部线性化后（公式 20）：

(

)

≈

(

)

(

)

s(q,\\xi) \\approx R(\\xi)q + t(\\xi)

$s (q, ξ) \approx R (ξ) q + t (ξ)$

在

T_k

$T_{k}$ 附近：

(

)

≈

s(q,\\xi) \\approx q + \\omega \\times q + t

$s (q, ξ) \approx q + ω \times q + t$

其中：

(

)

\\xi = (\\alpha,\\beta,\\gamma,a,b,c)

$ξ = (α, β, γ, a, b, c)$

2 Jacobian $J_s(\\xi) Js(ξ)$

对

\\xi

$ξ$ 求导得到：

(

)

∂

(

)

∂

[

−

]

J_s(\\xi) = \\frac{\\partial s(q,\\xi)}{\\partial \\xi} \\begin{bmatrix} 0 & q_z & -q_y & 1 & 0 & 0 \\\\ -q_z & 0 & q_x & 0 & 1 & 0 \\\\ q_y & -q_x & 0 & 0 & 0 & 1 \\end{bmatrix}

$J_{s} (ξ) = \frac{\partial s ( q , ξ )}{\partial ξ}$

0−qzqyqz0−qx−qyqx0100010001

维度：

3 \\times 6

$3 \times 6$

五、应用链式法则

从：

(

)

(

)

⊤

(

)

r_G^{(p,q)}(T) = n_p^\\top s(q,\\xi)

$r_{G}^{(p, q)} (T) = n_{p}^{⊤} s (q, ξ)$

直接对

\\xi

$ξ$ 求导：

∇

(

)

(

)

∂

(

⊤

(

)

⊤

∂

(

)

∂

⊤

(

)

\\begin{aligned} \\nabla r_G^{(p,q)}(T) &= \\frac{\\partial}{\\partial \\xi} \\big(n_p^\\top s(q,\\xi)\\big) &= n_p^\\top \\frac{\\partial s(q,\\xi)}{\\partial \\xi} &= n_p^\\top J_s(\\xi) \\end{aligned}

$\nabla r_{G}^{(p, q)} (T) = \frac{\partial}{\partial ξ} (n_{p}^{⊤} s (q, ξ)) = n_{p}^{⊤} \frac{\partial s ( q , ξ )}{\partial ξ} = n_{p}^{⊤} J_{s} (ξ)$

六、最终结果

∇

(

)

(

)

⊤

(

)

\\boxed{ \\nabla r_G^{(p,q)}(T) = n_p^\\top J_s(\\xi) }

$\nabla r_{G}^{(p, q)} (T) = n_{p}^{⊤} J_{s} (ξ)$

这正是论文中的公式 (30)。

七、维度检查

项维度

$n_p^\\top np⊤$	$\\times 3 1×3$
$J_s(\\xi) Js(ξ)$	$\\times 6 3×6$
结果	$\\times 6 1×6$

符合 Gauss–Newton 对单残差的 Jacobian 要求。

八、几何意义

几何残差对位姿的敏感度 = 沿法向方向的位移变化 × 位姿扰动对点位置的影响

这正是 point-to-plane ICP 的核心思想。

九、与 point-to-plane ICP 的关系

当只保留几何项（

\\sigma = 1

$σ = 1$ ）时：

(

)

∑

(

)

(

)

−

)

⊤

)

E(T) = \\sum_{(p,q)} \\big((s(q,T)-p)^\\top n_p\\big)^2

$E (T) = (p, q) \sum ((s (q, T) - p)^{⊤} n_{p})^{2}$

其 Jacobian 正是：

⊤

(

)

J = n_p^\\top J_s(\\xi)

$J = n_{p}^{⊤} J_{s} (ξ)$

** Colored ICP 在几何部分与经典 point-to-plane ICP 完全一致**。

十、工程实现示例

// np: Vector3d
// Js: Matrix<double,3,6>
RowVectorXd JrG = np.transpose() * Js;

一、计算梯度

一、符号与背景先说明

1 点与邻域

2 强度函数

3 映射函数 f ( ⋅ ) f(\\cdot) f(⋅)

4 梯度变量

二、原始代价函数（非线性）

解释：

三、一阶泰勒展开（关键步骤）

目标

在 p p p 处做一阶泰勒展开

代入得到

四、代入原始代价函数

五、把公式 (10) 改写成标准最小二乘形式

定义残差

堆叠成线性系统

最小二乘问题

写成矩阵形式

正规方程

六、切平面约束

原因

合并约束后的系统

七、代码中的一一对应关系

八、模型的物理意义

二、光度雅克比计算

一、问题回顾与符号统一

二、函数复合结构（关键）

三、第一步：最外层求导（颜色函数）

1 局部颜色函数的一阶形式

2 对中间变量求导

四、第二步：切平面投影函数 f f f 的 Jacobian

投影函数回顾（公式 9）

Jacobian J f ( s ) J_f(s) Jf​(s)

五、第三步：刚性变换 s ( q , ξ ) s(q,\\xi) s(q,ξ) 的 Jacobian

1 刚性变换形式

2 对 ξ = ( α , β , γ , a , b , c ) \\xi = (\\alpha,\\beta,\\gamma,a,b,c) ξ=(α,β,γ,a,b,c) 求导

六、完整链式法则推导

七、维度检查

八、总结

九、工程实现提示

三、几何雅克比计算

一、从几何残差的定义出发

二、去掉与优化无关的常量项

三、明确函数结构

四、对刚性变换 s ( q , ξ ) s(q,\\xi) s(q,ξ) 求导

1 刚性变换回顾

2 Jacobian J s ( ξ ) J_s(\\xi) Js​(ξ)

五、应用链式法则

六、最终结果

七、维度检查

八、几何意义

九、与 point-to-plane ICP 的关系

十、工程实现示例

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