【大模型学习笔记】大模型数学公式与Python库映射指南

建议结合专栏文章《大模型基础数学原理与架构的关系》阅读

🎯 架构总览图：数学公式 → Python库服务关系

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│ 数学公式与Python库映射生态 │
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│ 深度学习库 │ │ 机器学习库 │
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│ │PyTorch │ │ │ │Scikit-learn│ │
│ │TensorFlow │ │ │ │XGBoost │ │
│ │JAX │ │ │ │LightGBM │ │
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│ 线性代数库 │ │ │ 概率统计库 │ │
│ ┌───────────┐ │ │ │ ┌───────────┐ │ │
│ │NumPy │ │ │ │ │SciPy │ │ │
│ │SciPy │ │ │ │ │Statsmodels│ │ │
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│ 数学计算库 │
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│ │SymPy │ │Matplotlib │ │Pandas │ │
│ │符号计算 │ │可视化 │ │数据处理 │ │
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│ ┌─────▼────────┬───────▼────────┬───────▼────────┐ │
│ │ 优化库 │ 信号处理 │ 数值计算 │ │
│ │·SciPy优化 │ ·SciPy信号 │ ·NumPy │ │
│ │·CVXPY │ ·PyWavelets │ ·Numba │ │
│ └─────┬───────┘ └─────┬───────┘ └─────┬───────┘ │
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│ 基础数学公式层 │
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│ │ 微积分公式 │ │ 线性代数 │ │ 概率统计 │ │
│ │·梯度下降 │ │·矩阵分解 │ │·贝叶斯定理 │ │
│ │·链式法则 │ │·特征值分解 │ │·最大似然 │ │
│ │·泰勒展开 │ │·SVD分解 │ │·KL散度 │ │
│ └─────────────┘ └─────────────┘ └─────────────┘ │
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📊 数学公式与Python库函数映射表

🔢 微积分公式映射

🎯 线性代数公式映射

📈 概率统计公式映射

🔍 优化算法映射

🏗️ 库间服务关系架构图

1️⃣ 核心深度学习库服务链

PyTorch/TensorFlow ← NumPy ← 基础数学
↓
自动微分 ← 链式法则
↓
优化器 ← 梯度下降算法
↓
神经网络层 ← 线性代数运算

2️⃣ 机器学习库服务关系

Scikit-learn
├── 使用NumPy进行矩阵运算
├── 使用SciPy进行优化
├── 使用Matplotlib可视化
└── 提供高层API封装

XGBoost/LightGBM
├── 使用C++底层优化
├── 提供Python接口
└── 集成NumPy数组处理

3️⃣ 数学计算库层级

基础层：NumPy
├── 数组操作
├── 线性代数
└── 随机数生成

中间层：SciPy
├── 优化算法
├── 统计分布
└── 信号处理

高级层：PyTorch/TensorFlow
├── 自动微分
├── GPU加速
└── 深度学习模型

📋 具体实现代码映射

🎯 1. 线性回归（最小二乘法）

数学公式：

# 正规方程：θ = (X^T X)^(-1) X^T y

Python实现映射：

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# NumPy原生实现
X = np.array([[1, 1], [1, 2], [2, 2], [2, 3]])
y = np.array([6, 8, 9, 11])
theta = np.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ y

# Scikit-learn封装
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

🎯 2. 主成分分析（PCA）

数学公式：

# 特征值分解：C = QΛQ^T

Python实现映射：

from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 手动实现
X_std = StandardScaler().fit_transform(X)
cov_matrix = np.cov(X_std.T)
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(cov_matrix)

# Scikit-learn封装
pca = PCA(n_components=2)
X_pca = pca.fit_transform(X)

🎯 3. 神经网络反向传播

数学公式：