车载毫米波雷达DML算法理论简析

车载毫米波雷达DML算法理论简析

DML算法在77GHz车载雷达中的数学建模

车载毫米波雷达的确定性最大似然（DML）算法为目标角度估计提供了严格的数学框架。在77GHz频段，波长λ约为3.9mm，使得紧凑的天线阵列设计成为可能，同时保持高分辨率的测角能力。

阵列接收信号模型的建立

车载雷达系统采用M个天线单元接收来自K个目标的信号，接收信号向量的数学表达为：

$$x(t)=A(\theta )s(t)+n(t)$$

其中，x(t)为M×1维接收信号向量，A(θ)为M×K维阵列流形矩阵，包含所有目标的导向矢量，s(t)为K×1维源信号向量，n(t)为M×1维加性噪声向量，假设为空间和时间上的白复高斯噪声：$$n(t)CN(0,{\sigma }_n^{2}I)$$。

对于均匀线阵（ULA）配置，第k个目标的导向矢量具有明确的相位关系：

$$a_{ula}({\theta }_k)=[1,e^{(}-jkdsin{\theta }_k),e^{(}-j2kdsin{\theta }_k),\dots ,e^{(}-j(M-1)kdsin{\theta }_k){]}^T$$

其中k = 2π/λ为波数，d为阵元间距。这种线性相位进展使得角度估计具有明确的几何意义。

似然函数构建与确定性最大似然估计推导

联合概率密度函数的数学构建

DML算法的核心在于将目标信号视为确定性但未知的参数，而非随机过程。对于复高斯噪声环境，N次快拍下接收数据X = [x(t₁), x(t₂), …, x(tₙ)]的联合概率密度函数为：

$$p(X|\theta ,S)=(1/{\pi }^{(}MN){\sigma }_n^{(}2MN))exp(-1/{\sigma }_n^2||X-A(\theta )S|{|}_F^2)$$

其中$||\cdot |{|}_F^2$表示Frobenius范数的平方，S = [s(t₁), s(t₂), …, s(tₙ)]为K×N的信号矩阵。

对数似然函数与浓缩似然函数

对数似然函数的推导消除了指数项的复杂性：

$$L(\theta ,S)=-MNlog(\pi {\sigma }_n^2)-1/{\sigma }_n^2||X-A(\theta )S|{|}_F^2$$

关键的数学洞察在于，对于固定的θ，通过最小二乘法可以获得S的最优估计：

$$\hat{S}(\theta )=(A^H(\theta )A(\theta ){)}^{(}-1)A^H(\theta )X=A†(\theta )X$$

将此代入原始似然函数，得到浓缩似然函数：

$$L_c(\theta )=-||P_A\perp (\theta )X|{|}_F^2$$

其中$P_A\perp (\theta )=I-A(\theta )(A^H(\theta )A(\theta ){)}^{(}-1)A^H(\theta )$是正交补投影矩阵。

关键数学原理的深入推导

正交投影算子的数学性质与证明

正交投影矩阵$P_A=A(A^{H}A{)}^{(}-1)A^H$具有以下关键性质：

幂等性证明：
$$P_A^2=A(A^{H}A{)}^{-1}{A}^H\cdot A(A^{H}A{)}^{-1}{A}^H=A(A^{H}A{)}^{-1}(A^{H}A)(A^{H}A{)}^{-1}{A}^H=A(A^{H}A{)}^{-1}{A}^H=P_A$$

正交补投影的完备性： $$P_A+P_A^{\perp }=I，且P_A^{\perp }{P}_A=0$$

这些性质保证了信号子空间和噪声子空间的正交分解，是DML算法有效性的数学基础。

谱峰搜索的数学优化

DML的代价函数优化等价于：

$$J(\theta )=y^H{P}_A^{\perp }(\theta )y=y^{H}y-y^H{P}_A(\theta )y$$

因此最小化J(θ)等价于最大化$y^H{P}_A(\theta )y$，这转化为谱峰搜索问题。梯度信息为：

$${\nabla }_{\theta }J(\theta )=-2Re{D}^H(\theta )P_A^{\perp }(\theta )y$$

其中D(θ) = ∂A(θ)/∂θ是导向矩阵的导数。

牛顿-拉夫逊优化算法应用

二阶优化方法通过Hessian矩阵加速收敛：

$${\theta }^{(}n+1)={\theta }^{(}n)-{\alpha }_n{H}^{(}-1)({\theta }^{(}n))\nabla J({\theta }^{(}n))$$

Hessian矩阵的计算涉及二阶导数：
$$H_{i}j={\partial }^{2}J(\theta )/\partial {\theta }_i\partial {\theta }_j$$

准牛顿方法（BFGS）通过迭代更新避免直接计算Hessian：
$$B_{k+1}=B_k+(y_k{y}_k^T)/(y_k^T{s}_k)-(B_k{s}_k{s}_k^T{B}_k)/(s_k^T{B}_k{s}_k)$$

性能分析的理论极限

克拉美罗界的精确推导

DML估计的克拉美罗界（CRB）提供了理论性能下界：

条件模型（确定性信号）：
$$CR{B}_c(\theta )={\sigma }^2/2\cdot Re(D^H{P}_A^{\perp }D{)}^{-}1$$

对于单目标均匀线阵：
$$CRB(\theta )=(6{\sigma }^2)/({\pi }^2{d}^{2}si{n}^2\theta \cdot SNR\cdot M(M^2-1))$$

这表明估计精度与信噪比、阵元数量的三次方成正比，与目标角度的正弦平方成反比。

渐近性能与一致性分析

DML估计器的渐近性质包括：

一致性： ${\hat{\theta }}_{D}ML{\to }^p{\theta }_{0}asN\to \infty$

渐近正态性： $\surd N({\hat{\theta }}_{D}ML-{\theta }_0){\to }^{d}N(0,CR{B}^{-1})$

有限样本下的方差表达式：
$$Var({\hat{\theta }}_{D}ML)\approx CRB({\theta }_0)\cdot (1+2K/N+O(1/N^2))$$

分辨率理论极限推导

统计分辨率极限（SRL）超越了经典瑞利准则：

$$SRL=\surd (12/({\pi }^{2}SNR))\cdot (\lambda /D)\cdot Q^{-1}(P_{f}a/2)$$

对于紧密间隔的目标，最小方差界为：
$$CRB({\theta }_1,{\theta }_2)\approx ({\sigma }^2/2)\cdot [1/(M\cdot SNR)]\cdot [1+sin{c}^2(\pi d\cdot \Delta \theta \cdot sin\theta /\lambda )]$$

MIMO雷达配置下的特殊推导

虚拟阵列的数学构建

MIMO雷达通过发射和接收导向矢量的Kronecker积形成虚拟阵列：

$$a_{v}irtual(\theta )=a_t(\theta )\otimes a_r(\theta )$$

虚拟阵列提供M×N个虚拟通道，有效孔径为：
$$L_{v}irtual=L_{t}x+L_{r}x$$

角分辨率改善为：
$$\Delta \theta \approx \lambda /(2\pi \cdot L_{v}irtual)$$

MIMO特定的DML优化

MIMO配置下的DML似然函数：
$${\theta }_{D}ML=argma{x}_{\theta }|a^H(\theta )R\hat{x}{|}^2$$

其中R为采样协方差矩阵。关键优势包括：

• 增强的自由度：$DOF=M\times N$
• 改进的参数可识别性
• 对相干源的鲁棒性

复杂度分析的数学推导

标准DML实现复杂度

时间复杂度： $O(M^{3}N+KL{M}^2)$ per iteration

• $M^{3}N$：协方差矩阵运算
• $KL{M}^2$：$L$个网格点上的似然最大化

内存需求： $O(M^2+KL)$

DML与SML的理论区别

模型假设的根本差异

DML（确定性最大似然）：

• 信号模型：$y=As+n（s为确定性未知参数）$
• 无需信号协方差先验知识
• 参数空间：仅角度参数$\theta$

SML（随机最大似然）：

• 信号模型：$yCN(0,A{R}_s{A}^H+{\sigma }^{2}I)（s为随机过程）$
• 需要估计信号协方差矩阵$R_s$
• 参数空间：角度$\theta$和协方差$R_s$

优化目标函数对比

DML目标函数：
$$L_{D}ML(\theta )=||P_A\perp y|{|}^2$$

SML目标函数：
$$L_{S}ML(\theta ,R_s)=tr((A{R}_s{A}^H+{\sigma }^{2}I{)}^{(}-1)R_{s}ample)$$

应用场景的理论判据

DML优选条件：

• 快拍数有限（N < 10）
• 实时处理要求严格
• 目标统计特性未知
• 存在相干源
• 低至中等信噪比（10-20 dB）

SML优选条件：

• 充足训练数据
• 已知目标协方差统计
• 高信噪比环境（>20 dB）
• 最优性能要求
• 非实时应用

车载雷达环境的特殊考虑

多径效应的理论分析

多径环境下的修正CRB：
$$MCRB(\theta )\ge CRB(\theta )\cdot (1+|\rho {|}^2/(1+SNR))$$
其中ρ为多径相关系数。

色噪声影响

色噪声协方差Rn = σ²(I + ρC)导致性能界修正：
$$CR{B}_{c}olored=CR{B}_{w}hite\cdot (1+\rho \cdot \lambda max(C))$$

实时处理约束

汽车雷达要求：

• 帧率：10-20 Hz最低要求
• 处理预算：<50 ms每帧
• 内存限制：<100 MB嵌入式系统

附录：DML算法推导

A. 浓缩似然函数的完整推导

考虑接收信号模型：
$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{A}(\mathbf{\theta })\mathbf{s}(t)+\mathbf{n}(t),t=1,2,\dots ,N$$

其中$\mathbf{A}(\mathbf{\theta })=[\mathbf{a}({\theta }_1),\mathbf{a}({\theta }_2),\dots ,\mathbf{a}({\theta }_K)]$为$M\times K$维阵列流形矩阵。

对于$N$次快拍，定义数据矩阵：
$$\mathbf{X}=[\mathbf{x}(1),\mathbf{x}(2),\dots ,\mathbf{x}(N)]\in {\mathbb{C}}^{M\times N}$$

在高斯噪声假设下，负对数似然函数为：
$$\mathcal{L}(\mathbf{\theta },\mathbf{S})=\frac{1}{{\sigma }^2}\text{tr}\{(\mathbf{X}-\mathbf{A}(\mathbf{\theta })\mathbf{S})(\mathbf{X}-\mathbf{A}(\mathbf{\theta })\mathbf{S}{)}^H\}$$

对$\mathbf{S}$求导并令其为零：
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathbf{S}}^{\ast }}=-\frac{1}{{\sigma }^2}{\mathbf{A}}^H(\mathbf{\theta })(\mathbf{X}-\mathbf{A}(\mathbf{\theta })\mathbf{S})=0$$

解得最优信号估计：
$$\hat{\mathbf{S}}(\mathbf{\theta })=({\mathbf{A}}^H(\mathbf{\theta })\mathbf{A}(\mathbf{\theta }){)}^{-1}{\mathbf{A}}^H(\mathbf{\theta })\mathbf{X}={\mathbf{A}}^{†}(\mathbf{\theta })\mathbf{X}$$

将$\hat{\mathbf{S}}(\mathbf{\theta })$代入原似然函数：
$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_c(\mathbf{\theta })& =\text{tr}\{(\mathbf{X}-\mathbf{A}(\mathbf{\theta }){\mathbf{A}}^{†}(\mathbf{\theta })\mathbf{X})(\mathbf{X}-\mathbf{A}(\mathbf{\theta }){\mathbf{A}}^{†}(\mathbf{\theta })\mathbf{X}{)}^H\}\\ & =\text{tr}\{(\mathbf{I}-{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}(\mathbf{\theta }))\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H(\mathbf{I}-{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}(\mathbf{\theta }){)}^H\}\\ & =\text{tr}\{{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^{\perp }(\mathbf{\theta })\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H\}\end{array}$$

其中${\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^{\perp }(\mathbf{\theta })=\mathbf{I}-{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}(\mathbf{\theta })$为正交补投影算子。

B. 正交投影算子的完整性质证明

定理B.1（投影算子的谱分解）：设${\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}=\mathbf{A}({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{-1}{\mathbf{A}}^H$，则：

(i) 幂等性：${\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^2={\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}$

证明：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^2& =\mathbf{A}({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{-1}{\mathbf{A}}^H\cdot \mathbf{A}({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{-1}{\mathbf{A}}^H\\ & =\mathbf{A}({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{-1}({\mathbf{A}}^H\mathbf{A})({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{-1}{\mathbf{A}}^H\\ & =\mathbf{A}({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{-1}{\mathbf{A}}^H={\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}\end{array}$$

(ii) 自伴性：${\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^H={\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}$

证明：
$${\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^H=(\mathbf{A}({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{-1}{\mathbf{A}}^H{)}^H=\mathbf{A}(({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{-1}{)}^H{\mathbf{A}}^H=\mathbf{A}({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{)}^{-1}{\mathbf{A}}^H={\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}$$

(iii) 正交性：${\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^{\perp }=0$

证明：
$${\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^{\perp }={\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}(\mathbf{I}-{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}})={\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}-{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^2={\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}-{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}=0$$

C. 梯度与Hessian矩阵的详细推导

对于单目标情况，代价函数为：
$$J(\theta )={\mathbf{x}}^H{\mathbf{P}}_{\mathbf{a}}^{\perp }(\theta )\mathbf{x}$$

梯度推导：

首先计算${\mathbf{P}}_{\mathbf{a}}^{\perp }(\theta )$对$\theta$的导数：
$$\frac{\partial {\mathbf{P}}_{\mathbf{a}}^{\perp }(\theta )}{\partial \theta }=-\frac{\partial {\mathbf{P}}_{\mathbf{a}}(\theta )}{\partial \theta }$$

利用矩阵微分公式：
$$\frac{\partial {\mathbf{P}}_{\mathbf{a}}(\theta )}{\partial \theta }=\frac{\partial }{\partial \theta }\left[\frac{\mathbf{a}(\theta ){\mathbf{a}}^H(\theta )}{{\mathbf{a}}^H(\theta )\mathbf{a}(\theta )}\right]$$

应用商法则：
$$\frac{\partial {\mathbf{P}}_{\mathbf{a}}}{\partial \theta }=\frac{1}{\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2}\left(\dot{\mathbf{a}}{\mathbf{a}}^H+\mathbf{a}{\dot{\mathbf{a}}}^H\right)-\frac{2\text{Re}\{{\mathbf{a}}^H\dot{\mathbf{a}}\}}{\Vert \mathbf{a}{\Vert }^4}\mathbf{a}{\mathbf{a}}^H$$

其中$\dot{\mathbf{a}}=\frac{\partial \mathbf{a}(\theta )}{\partial \theta }$。

因此梯度为：
$$\nabla J(\theta )=-2\text{Re}\{{\mathbf{x}}^H{\mathbf{P}}_{\mathbf{a}}^{\perp }(\theta )\dot{\mathbf{a}}(\theta )({\mathbf{a}}^H(\theta )\mathbf{a}(\theta ){)}^{-1}{\mathbf{a}}^H(\theta )\mathbf{x}\}$$

Hessian矩阵推导：

二阶导数涉及更复杂的链式法则：
$${\mathbf{H}}_{ij}=\frac{{\partial }^{2}J}{\partial {\theta }_i\partial {\theta }_j}=2\text{Re}\left\{{\mathbf{x}}^H\frac{{\partial }^2{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^{\perp }}{\partial {\theta }_i\partial {\theta }_j}\mathbf{x}\right\}$$

其中：
$$\frac{{\partial }^2{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^{\perp }}{\partial {\theta }_i\partial {\theta }_j}=-\frac{{\partial }^2{\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}}{\partial {\theta }_i\partial {\theta }_j}$$

D. 克拉美罗界的严格推导

定理D.1：对于确定性信号模型，角度估计的克拉美罗界为：

$$\text{CRB}(\mathbf{\theta })=\frac{{\sigma }^2}{2N}{\left[\text{Re}\left\{{\mathbf{D}}^H(\mathbf{\theta }){\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^{\perp }(\mathbf{\theta })\mathbf{D}(\mathbf{\theta })\odot {\mathbf{R}}_s^T\right\}\right]}^{-1}$$

其中$\mathbf{D}(\mathbf{\theta })=[\dot{\mathbf{a}}({\theta }_1),\dot{\mathbf{a}}({\theta }_2),\dots ,\dot{\mathbf{a}}({\theta }_K)]$，$\odot$表示Hadamard积。

证明：

Fisher信息矩阵的第$(i,j)$元素为：
$$[\mathbf{F}(\mathbf{\theta }){]}_{ij}=\frac{2N}{{\sigma }^2}\text{Re}\left\{\text{tr}\left[{\mathbf{R}}_s{\dot{\mathbf{a}}}^H({\theta }_i){\mathbf{P}}_{\mathbf{A}}^{\perp }(\mathbf{\theta })\dot{\mathbf{a}}({\theta }_j)\right]\right\}$$

对于单目标均匀线阵，导向矢量导数为：
$$\dot{\mathbf{a}}(\theta )=j\frac{2\pi d}{\lambda }\cos (\theta ){\mathbf{D}}_m\mathbf{a}(\theta )$$

其中${\mathbf{D}}_m=\text{diag}(0,1,2,\dots ,M-1)$。

代入Fisher信息矩阵：
$$F(\theta )=\frac{2N\text{SNR}}{{\sigma }^2}{\left(\frac{2\pi d}{\lambda }\cos (\theta )\right)}^2{\mathbf{a}}^H(\theta ){\mathbf{D}}_m^2\mathbf{a}(\theta )$

计算得：
$${\mathbf{a}}^H(\theta ){\mathbf{D}}_m^2\mathbf{a}(\theta )=\sum _{m=0}^{M-1}{m}^2=\frac{M(M-1)(2M-1)}{6}$$

因此：
$$\text{CRB}(\theta )=\frac{1}{F(\theta )}=\frac{3{\lambda }^2{\sigma }^2}{2{\pi }^2{d}^2{\cos }^2(\theta )\cdot \text{SNR}\cdot N\cdot M(M^2-1)}$$

E. MIMO雷达虚拟阵列的数学构造

定理E.1（虚拟阵列原理）：设发射阵列导向矢量为${\mathbf{a}}_t(\theta )\in {\mathbb{C}}^{M_t}$，接收阵列导向矢量为${\mathbf{a}}_r(\theta )\in {\mathbb{C}}^{M_r}$，则虚拟阵列导向矢量为：

$${\mathbf{a}}_v(\theta )={\mathbf{a}}_t(\theta )\otimes {\mathbf{a}}_r(\theta )\in {\mathbb{C}}^{M_t{M}_r}$$

证明：

MIMO雷达信号模型为：
$$\mathbf{Y}={\mathbf{A}}_r(\mathbf{\theta })\text{diag}(\mathbf{\beta }){\mathbf{A}}_t^T(\mathbf{\theta })\mathbf{S}+\mathbf{N}$$

通过向量化操作：
$$\text{vec}(\mathbf{Y})=({\mathbf{S}}^T\otimes {\mathbf{I}}_{M_r})\text{vec}({\mathbf{A}}_r\text{diag}(\mathbf{\beta }){\mathbf{A}}_t^T)$$

利用Kronecker积的性质：
$$\text{vec}({\mathbf{A}}_r\text{diag}(\mathbf{\beta }){\mathbf{A}}_t^T)=({\mathbf{A}}_t^{\ast }\otimes {\mathbf{A}}_r)\mathbf{\beta }$$

因此虚拟导向矢量为：
$${\mathbf{a}}_v(\theta )={\mathbf{a}}_t^{\ast }(\theta )\otimes {\mathbf{a}}_r(\theta )$$

对于均匀线阵配置，虚拟阵列孔径为：
$$L_v=(M_t-1)d_t+(M_r-1)d_r$$

F. 快速DML算法的计算复杂度分析

定理F.1：快速DML算法的计算复杂度为$O(M^2\log K+K{M}^2)$，其中$K$为搜索网格点数。

证明：

算法分为两阶段：

阶段1（粗搜索）：

• FFT波束形成：$O(M\log M)$
• 峰值检测：$O(K)$
• 总复杂度：$O(M\log M+K)$

阶段2（精搜索）：

• 对每个候选峰值：
  • 投影矩阵计算：$O(M^2)$
  • 似然函数评估：$O(M^2)$
  • 梯度计算：$O(M^2)$
• 迭代次数：$O(\log (1/ϵ))$
• 总复杂度：$O(K_p{M}^2\log (1/ϵ))$

其中$K_p\ll K$为候选峰值数，$ϵ$为收敛精度。

G. 色噪声环境下的修正DML算法

当噪声协方差矩阵${\mathbf{R}}_n\ne {\sigma }^2\mathbf{I}$时，需要修正DML准则：

$${\hat{\mathbf{\theta }}}_{\text{DML}}=\arg \underset{\mathbf{\theta }}{\min }\text{tr}\{{\mathbf{P}}_{\tilde{\mathbf{A}}}^{\perp }(\mathbf{\theta })\tilde{\mathbf{X}}{\tilde{\mathbf{X}}}^H\}$$

其中$\tilde{\mathbf{A}}(\mathbf{\theta })={\mathbf{R}}_n^{-1/2}\mathbf{A}(\mathbf{\theta })$，$\tilde{\mathbf{X}}={\mathbf{R}}_n^{-1/2}\mathbf{X}$为预白化后的数据。

修正后的克拉美罗界为：
$${\text{CRB}}_{\text{colored}}(\mathbf{\theta })=\frac{1}{2N}{\left[\text{Re}\left\{{\mathbf{D}}^H(\mathbf{\theta }){\mathbf{R}}_n^{-1}\mathbf{D}(\mathbf{\theta })\odot {\mathbf{R}}_s^T\right\}\right]}^{-1}$$