【缩点拓扑序】P3119 [USACO15JAN] Grass Cownoisseur G|省选- 网硕互联帮助中心

本文涉及知识点

C++图论

P3119 [USACO15JAN] Grass Cownoisseur G

题目描述

为了更好地管理牛群的放牧路线，Farmer John 在他的农场中安装了若干单向牛道。农场由

$N$ 块草场组成，编号为

$1$ 到

$N$ ，每条单向牛道连接一对草场。例如，若存在一条从草场

$X$ 到

$Y$ 的路径，则牛可以从

$X$ 前往

$Y$ ，但不能从

$Y$ 返回

$X$ 。

众所周知，Bessie 喜欢尽可能多地品尝不同草场的牧草。她每天从草场

$1$ 出发，访问一系列草场后返回草场

$1$ 。她试图最大化沿途经过的不同草场数量（重复访问的草场只算一次）。

由于单向路径的限制，Bessie 担心这会减少她每日路线中可以访问的草场数量。她想知道如果她违反规则，在路线中最多逆向通过某条道路一次，最多能品尝多少草场的牧草。请计算她从草场

$1$ 出发并返回的情况下，最多能访问的不同草场数量。注意 Bessie 在整个旅程中最多只能逆向通过一条道路，且同一条路径不能逆向两次。

输入格式

第一行包含两个整数

$N$ 和

$M$ ，表示草场数量和单向牛道数量（

≤

100

000

1 \\leq N, M \\leq 100,000

$1 \leq N, M \leq 100, 000$ ）。

接下来

$M$ 行每行描述一条单向牛道，包含两个不同的整数

$X$ 和

$Y$ ，表示从

$X$ 到

$Y$ 的单向路径。保证每条路径不会重复出现。

输出格式

输出一行，表示 Bessie 在最多逆向通过一条道路的情况下，从草场

$1$ 出发并返回时能访问的最大不同草场数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

7 10
1 2
3 1
2 5
2 4
3 7
3 5
3 6
6 5
7 2
4 7

输出 #1

说明/提示

样例解析：

以下是样例输入的 ASCII 图示：

v—3–>6
7 | \\ |
^\\ v \\|
| \\ 1 |
| | v
| v 5
4<–2—^

Bessie 可以通过逆向路径

→

5\\to 3

$5 \to 3$ 访问草场

1, 2, 4, 7, 2, 5, 3, 1

$1, 2, 4, 7, 2, 5, 3, 1$ 。到达草场

$3$ 后，若不再次逆向其他路径则无法前往

$6$ 。

缩点拓扑排序

注意：任意道路正向行驶的次数不限。逆行只能0次或1次。逆行和正向行驶互相不影响。习惯从0开始。性质一：最优解可能无逆行。如：

→

0 \\rightarrow 1 \\rightarrow 0

$0 \to 1 \to 0$ 。性质二：能够到达环上任意一点，则能够到达任意环。小结一：环可以缩点。 dis1[i]记录从0出发到i经过的最多农场。 dis2[i]记录从i出发到达0经过的最多农场。可将边反向，和vis1[i]一样求。情况一：不逆序，结果是dis1[0]。情况二：逆序一次，我们假定逆行的边是uv。前提一：存在路径一

→

0\\rightarrow v

$0 \to v$ 。前提二：存在路径二

→

u \\rightarrow 0

$u \to 0$ 。前提三：以上两条路径可以不包括

→

u \\rightarrow v

$u \to v$ 。

前提三

性质三：如果

→

，包括

→

0 \\rightarrow v，包括u \\rightarrow v

$0 \to v ，包括 u \to v$ ,则：存在

→

0 \\rightarrow u

$0 \to u$ 的路径，即u在0所在的环。性质五：如果

→

包括

→

u \\rightarrow 0包括u \\rightarrow v

$u \to 0 包括 u \to v$ ,则存在

→

v \\rightarrow 0

$v \to 0$ d路径。即v和0在同一个环。枚举缩点后的边uv：情况一;

≠

且

≠

0\\neq u且0 \\neq v

$0 \neq = u 且 0 \neq = v$ ，路径一和路径二，都不包括uv，正常处理。情况二：

且

0 == u且0 ==v

$0 == u 且 0 == v$ ，自环必须忽略，否则出错。情况三：

≠

0==u,0\\neq v

$0 == u, 0 \neq = v$ ，路径一和路径二不逆序，先路径一，逆行(vu)，路径二。下图的路径：

→

逆行

0 \\rightarrow 1_{\\rightarrow}^{逆行} 0

$0 \to 1_{\to}^{逆行} 0$ 在这里插入图片描述情况四：

≠

0 \\neq u,0 == v

$0 \neq = u, 0 == v$ 。和情况三类似。

实现

ans = dis[0]。 ans =

缩点后存在边

(

[

]

[

]

−

点所在环大小

)

max_{缩点后存在边uv}(ans,dis1[v]+dis2[u] – 0点所在环大小)

$ma x_{缩点后存在边 uv} (an s, d i s 1 [v] + d i s 2 [u] - 0 点所在环大小)$ 0所在的环，dis1和dis2各计算了一次。除0外，dis1[v]和dis2[u]不包括相同的点，否则整个路径是环，会被缩点。

求dis1

初始dis1[0]=1，其它为0。按拓扑序逆序处理cur，通过child枚举cur缩点后的孩子。 dis1[child] = max(dis1[child],dis1[cur]+此点所在环大小)

经典样例

在这里插入图片描述

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
in >> pr.first >> pr.second;
return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4,class T5 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t);
return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5,class T6 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5,T6>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >>get<5>(t);
return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
int n;
cin >> n;
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
vector<T> ret;
T tmp;
while (cin >> tmp) {
ret.emplace_back(tmp);
if ('\\n' == cin.get()) { break; }
}
return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
COutBuff() {
m_p = puffer;
}
template<class T>
void write(T x) {
int num[28], sp = 0;
if (x < 0)
*m_p++ = '-', x = –x;

if (!x)
*m_p++ = 48;

while (x)
num[++sp] = x % 10, x /= 10;

while (sp)
*m_p++ = num[sp—] + 48;
AuotToFile();
}
void writestr(const char* sz) {
strcpy(m_p, sz);
m_p += strlen(sz);
AuotToFile();
}
inline void write(char ch)
{
*m_p++ = ch;
AuotToFile();
}
inline void ToFile() {
fwrite(puffer, 1, m_p – puffer, stdout);
m_p = puffer;
}
~COutBuff() {
ToFile();
}
private:
inline void AuotToFile() {
if (m_p – puffer > N – 100) {
ToFile();
}
}
char puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
inline CInBuff() {}
inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
FileToBuf();
ch = *S++;
return *this;
}
inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
FileToBuf();
int x(0), f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? –x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
FileToBuf();
long long x(0); int f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? –x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
template<class T1, class T2>
inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
*this >> val.first >> val.second;
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
return *this;
}
template<class T = int>
inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
int n;
*this >> n;
val.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> val[i];
}
return *this;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
vector<T> ret;
*this >> ret;
return ret;
}
private:
inline void FileToBuf() {
const int canRead = m_iWritePos – (S – buffer);
if (canRead >= 100) { return; }
if (m_bFinish) { return; }
for (int i = 0; i < canRead; i++)
{
buffer[i] = S[i];//memcpy出错
}
m_iWritePos = canRead;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N – m_iWritePos, stdin);
if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
m_iWritePos += readCnt;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
}
int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class CDGTopSort
{
public:
template <class T = vector<int> >
CDGTopSort(const vector<T>& vNeiBo) :m_vDeg(vNeiBo.size()), m_neiBo(vNeiBo) {
const int N = vNeiBo.size();
m_backNeiBo.resize(N);
for (int cur = 0; cur < N; cur++)
{
m_vDeg[cur] = vNeiBo[cur].size();
for (const auto& next : vNeiBo[cur])
{
m_backNeiBo[next].emplace_back(cur);
}
}
}
void Init() {

auto Add = [&](int i) {
if (0 != m_vDeg[i]) { return; }
m_que.emplace(i);
};
for (int i = 0; i < m_vDeg.size(); i++)
{
Add(i);
}
while (m_que.size())
{
const int cur = m_que.front(); m_que.pop();
if (!OnDo(cur)) { continue; }
for (const auto& next : m_backNeiBo[cur])
{
m_vDeg[next]—;
Add(next);
}
};
}
queue<int> m_que;
vector<int> m_vDeg;
vector<int> m_vSort;
protected:
const vector<vector<int>>& m_neiBo;
vector<vector<int>> m_backNeiBo;
virtual bool OnDo(int cur) {
m_vSort.emplace_back(cur);
return true;
};
};

class CNeiBo
{
public:
static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<int>> vNeiBo(n);
for (const auto& [i1, i2] : edges)
{
vNeiBo[i1 – iBase].emplace_back(i2 – iBase);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[i2 – iBase].emplace_back(i1 – iBase);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<int>> vNeiBo(n);
for (const auto& v : edges)
{
vNeiBo[v[0] – iBase].emplace_back(v[1] – iBase);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v[1] – iBase].emplace_back(v[0] – iBase);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
for (const auto& v : edges)
{
vNeiBo[v[0] – iBase].emplace_back(v[1] – iBase, v[2]);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v[1] – iBase].emplace_back(v[0] – iBase, v[2]);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, const vector<tuple<int, int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
for (const auto& [u, v, w] : edges)
{
vNeiBo[u – iBase].emplace_back(v – iBase, w);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v – iBase].emplace_back(u – iBase, w);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat)
{
vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());
for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++)
{
for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++)
{
if (neiBoMat[i][j])
{
neiBo[i].emplace_back(j);
neiBo[j].emplace_back(i);
}
}
}
return neiBo;
}
};

class CSCCTarjan {
public:
CSCCTarjan(vector<vector<int>>& neiBo) :m_neiBo(neiBo) {
const int N = neiBo.size();
m_vTime.assign(N, –1);
m_vBack.assign(N, –1);
m_vIsStack.assign(N, false);
for (int i = 0; i < N; i++) {
DFS(i);
}
}
void InitPtNew() {
m_ptNew.resize(m_neiBo.size());
iota(m_ptNew.begin(), m_ptNew.end(), 0);
for (auto& v : m_sccs) {
nth_element(v.begin(), v.begin(), v.end());
m_v0.emplace_back(v[0]);
for (int i = 1; i < v.size(); i++) {
m_ptNew[v[i]] = v[0];
}
}
}
vector<vector<int>> GetNewNeiBo() {
vector<vector<int>> neiBo(m_neiBo.size());
for (int i = 0; i < neiBo.size(); i++) {
const int n1 = m_ptNew[i];
for (const auto& next : m_neiBo[i]) {
const int n2 = m_ptNew[next];
if (n1 == n2) { continue; }//自环
neiBo[n1].emplace_back(n2);
}
}
for (int i = 0; i < neiBo.size(); i++) {
unordered_set<int> s(neiBo[i].begin(), neiBo[i].end());
vector<int> tmp(s.begin(), s.end());
neiBo[i].swap(tmp);
}
return neiBo;
}
vector<vector<int>> m_sccs;
vector<int> m_v0, m_ptNew;
protected:
void DFS(int cur) {
if (–1 != m_vTime[cur]) { return; }
m_vTime[cur] = m_vBack[cur] = m_iTimes++;
m_vIsStack[cur] = true;
m_sta.emplace(cur);
for (const auto& next : m_neiBo[cur]) {
if (–1 == m_vTime[next]) {
DFS(next);
m_vBack[cur] = min(m_vBack[cur], m_vBack[next]);
}
else if (m_vIsStack[next]) {
m_vBack[cur] = min(m_vBack[cur], m_vTime[next]);
}
}
if (m_vTime[cur] != m_vBack[cur]) { return; }
vector<int> scc;
while (m_sta.size())
{
auto u = m_sta.top(); m_sta.pop();
scc.emplace_back(u);
m_vIsStack[u] = false;
if (cur == u) { break; }
}
m_sccs.emplace_back(scc);
}
vector<vector<int>>& m_neiBo;
int m_iTimes = 0;
vector<int> m_vTime, m_vBack;
vector<bool> m_vIsStack;
stack<int> m_sta;
};
class Solution {
public:
int Ans(const int N, vector<pair<int, int>>& edge) {
for (auto& [u, v] : edge) { u—, v—; }
auto neiBo = CNeiBo::Two(N, edge, true, 0);
CSCCTarjan scc(neiBo);
scc.InitPtNew();
m_ringSize.assign(N, 0);
for (int i = 0; i < N; i++) {
m_ringSize[scc.m_ptNew[i]]++;
}
auto neiBo1 = scc.GetNewNeiBo();
vector<vector<int>> neiBo2(N);
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (const auto& j : neiBo1[i]) {
neiBo2[j].emplace_back(i);
}
}
assert(0 == scc.m_ptNew[0]);
auto dis1 = More(N, neiBo1);
auto dis2 = More(N, neiBo2);
int ans = dis1[0];
for (int u = 0; u < N; u++) {
for (const auto& v : neiBo1[u]) {
if ((0 == dis1[v]) || (0 == dis2[u])) { continue; }
if ((0 == scc.m_ptNew[u]) && (0 == scc.m_ptNew[v])) { continue; }
ans = max(ans, dis1[v] + dis2[u] – m_ringSize[0]);
}
}
return ans;
}
vector<int> More(const int N, vector<vector<int>>& neiBo) {
vector<int> ret(N);
ret[0] = m_ringSize[0];
CDGTopSort topSort(neiBo);
topSort.Init();
for (auto it = topSort.m_vSort.rbegin(); it != topSort.m_vSort.rend(); ++it) {
if (0 == ret[*it]) { continue; }
for (const auto& child : neiBo[*it]) {
ret[child] = max(ret[child], ret[*it] + m_ringSize[child]);
}
}
return ret;
}
vector<int> m_ringSize;
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
int N;
cin >> N ;
auto edge = Read<pair<int,int>>();
#ifdef _DEBUG
printf("N=%d",N);
Out(edge, ",edge=");
//Out(que, ",que=");
#endif // DEBUG
auto res = Solution().Ans(N, edge);
cout << res;
return 0;
}

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17 或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17 如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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