老码农和你一起学AI：数学基础知识系列-离散分布

在人工智能、数据分析乃至日常生活中，我们常常需要描述和预测那些可能结果有限且可枚举的随机现象 —— 比如抛硬币的正反面、每天接到的电话数量、产品质检中的合格与否。这些现象背后的数学规律，被统称为离散概率分布。今天将深入浅出地解析三种最基础且应用广泛的离散分布：伯努利分布、二项分布和泊松分布，帮助专业与非专业读者共同理解它们的本质、联系与实际价值。

一、离散分布的随机性

在正式介绍具体分布前，我们先明确离散分布的本质。当一个随机事件的结果是有限个或可列无穷个孤立数值时（比如 “成功 / 失败”“1 次 / 2 次 / 3 次”），描述这些结果出现概率的规律就是离散分布。它的核心是概率质量函数，简单说就是 某个具体结果发生的概率是多少。

举个生活中的例子：掷一枚骰子，可能的结果是 1 到 6 的整数，每个点数出现的概率都是 1/6，这就是一种简单的离散分布。而离散分布的价值，在于它能将复杂的随机现象抽象为可计算的数学模型，帮助我们预测未来、优化决策。

二、伯努利分布

1. 最简单的离散分布

伯努利分布是描述单次随机试验的概率分布，其结果只有两种：“成功” 或 “失败”（也可称为 “1” 或 “0”）。比如：

• 抛一次硬币，“正面朝上” 为成功，“反面朝上” 为失败；

• 抽检一件产品，“合格” 为成功，“不合格” 为失败。

2. 概率计算

如果用一个变量代表试验结果（比如用 1 代表成功，0 代表失败），那么伯努利分布的概率规则很简单：

• 成功的概率是一个固定值（比如抛硬币正面朝上的概率是 0.5）；

• 失败的概率就是 “1 减去成功的概率”（比如抛硬币反面朝上的概率是 1-0.5=0.5）。

3. 特点

伯努利分布是所有离散分布的基础，它只关注一次试验的两种可能。例如，AI 模型预测一张图片 “是猫”（成功）或 “不是猫”（失败），其概率输出就可视为服从伯努利分布。

三、二项分布：多次伯努利试验的 “成功次数”

1. 从单次到多次的扩展

当我们重复进行多次独立的伯努利试验（每次试验成功概率都一样），用一个变量表示 “这些次试验中成功的总次数”，这个变量就服从二项分布。

例如：

• 抛 10 次硬币，正面朝上的次数（每次抛硬币都是独立的伯努利试验，成功概率都是 0.5）；

• 抽检 50 件产品，其中合格产品的数量（每次抽检独立，合格率固定）。

2. 概率计算

要计算 “n 次试验中恰好成功 k 次” 的概率，需要三步：

把这三个结果相乘，就是 “n 次试验中恰好成功 k 次” 的概率。

3. 与伯努利分布的联系

二项分布可以理解为多个独立伯努利分布的叠加。比如，1 次试验的成功次数服从伯努利分布，而 10 次试验的成功次数就是 10 个伯努利分布的和，服从二项分布。

当试验次数 n=1 时，二项分布就退化成了伯努利分布（此时成功次数只能是 0 或 1）。

4. 实际应用

在 AI 与数据分析中，二项分布常用于预测 “多次独立试验中的成功总数”。例如：

• 某工厂产品合格率为 90%，预测 100 件产品中合格数在 90±5 范围内的概率；

• 某算法识别垃圾邮件的准确率为 95%，预测 1000 封邮件中正确识别数量的概率。

四、泊松分布

1. 定义

当我们关注单位时间或单位空间内某稀有事件发生的次数，且事件满足以下条件时，这个次数就服从泊松分布：

• 事件发生是独立的（比如某一时刻网站有人访问，不影响其他时刻是否有人访问）；

• 事件发生的平均频率是稳定的（比如每天平均接到 5 个投诉电话）；

• 事件同时发生的概率几乎为 0（比如同一秒内有两个人同时投诉的概率极低）。

例如：

• 一小时内网站的访问量；

• 一平方米布料上的瑕疵数；

• 一天内医院急诊室接到的求救电话次数。

这里有个关键参数 “λ”（读作 “拉姆达”），代表单位时间 / 空间内事件的平均发生次数（比如平均每小时有 10 人访问网站，λ 就是 10）。

2. 概率计算

要计算 “单位时间 / 空间内事件恰好发生 k 次” 的概率，可以这样理解：

• 首先有一个自然常数 e（约等于 2.718），它是数学中一个固定的常数；

• 然后用 e 的 “-λ 次方”（可以理解为一个随 λ 变化的衰减因子），乘以 “λ 的 k 次方”（与平均次数和发生次数相关），再除以 “k 的阶乘”（k!，即从 1 乘到 k 的乘积，比如 3! = 3×2×1=6）。

这个计算过程本质上是在平衡 “事件发生的平均频率” 和 “实际发生次数” 的关系。

3. 与二项分布的关联

泊松分布可以视为二项分布的一种极限情况：当试验次数非常多（n 极大），而单次试验成功的概率非常小（p 极小），但平均成功次数（n×p）固定时，二项分布就可以近似为泊松分布。

例如，“一天内某路口发生交通事故的次数”：可以看作 “把一天分成 86400 秒（n 极大），每秒发生事故的概率 p 极小，而全天平均发生 λ 次事故”，这时用泊松分布计算比二项分布更简便。

4. 实际应用

泊松分布在 AI 和工程中应用广泛：

• 电商平台预测 “每分钟下单人数”，用于优化服务器负载（避免人数过多导致崩溃）；

• 工厂统计 “每小时机器故障次数”，制定维护计划（提前准备维修资源）；

• 自然语言处理中，预测 “某词语在一篇文章中出现的次数”，辅助文本分类或关键词提取。

五、最后小结

从本质上看，这三种分布是对 “离散随机现象” 从简单到复杂的递进描述：伯努利分布描述单次试验，二项分布扩展到多次试验的成功计数，泊松分布则聚焦于稀有事件的频率规律。无论是 AI 工程师用它们构建概率模型，还是普通人理解 “为什么抽奖中奖率低却总有人中”，离散分布都为我们提供了一把解读随机性的 “数学钥匙”—— 它让看似杂乱的随机事件，呈现出可预测的规律之美吧！未完待续…………