第 18 章 · 线性方程组

矩阵最重要的应用之一，就是表示和求解线性方程组。本章讲清楚"Ax = b"到底是什么意思，以及如何求解。

18.1 什么是线性方程组

你肯定见过这种方程：

2x + y = 5
x + 3y = 10

两个未知数 x、y，两个方程。求 x、y 的值，就是解线性方程组。

"线性"指：每个方程里未知数都是一次的（没有 x²、没有 xy、没有 sin(x)）。

18.2 用矩阵表示方程组

上面的方程组可以写成矩阵形式：

[ 2 1 ] [ x ] [ 5 ]
[ 1 3 ] [ y ] = [ 10 ]

也就是：

A · x = b

A = [ 2 1 ] x = [ x ] b = [ 5 ]
[ 1 3 ] [ y ] [ 10 ]

• A：系数矩阵（未知数前面的系数）
• x：未知数向量
• b：常数向量（等号右边的数）

于是"解方程组"就变成了"已知 A 和 b，求 x"。

验证一下：A·x 展开就是

[ 2 1 ] [ x ] [ 2x + y ]
[ 1 3 ] [ y ] = [ x + 3y ]

等于 b，正好就是原来的两个方程！所以 Ax = b 就是线性方程组的矩阵写法。

18.3 解方程组的方法

方法一：代入消元（中学方法）

2x + y = 5 … ①
x + 3y = 10 … ②

从 ① 得 y = 5 – 2x，代入 ②：

x + 3(5 – 2x) = 10
x + 15 – 6x = 10
-5x = -5
x = 1

代回 y = 5 – 2×1 = 3。所以 x=1，y=3。

方法二：高斯消元（计算机用）

计算机用的是高斯消元：通过"行变换"把矩阵变成"阶梯形"，再回代求解。核心操作：

这些操作不改变方程组的解，但能把矩阵化简成容易求解的形式。

你不需要手算高斯消元，Eigen 会帮你做。但理解"解方程组 = 消元"这个思想很重要，因为 Eigen 的 solve() 内部就是在做这类分解。

18.4 解的存在性

方程组可能有三种情况：

几何上看，两个未知数两个方程 = 两条直线，解就是它们的交点。

• 相交 → 唯一解
• 平行 → 无解
• 重合 → 无穷多解

对应到矩阵：A 是否可逆（第 19 章）决定了是否有唯一解。

18.5 用 Eigen 解方程组

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
Eigen::Matrix2d A;
A << 2, 1,
1, 3;
Eigen::Vector2d b(5, 10);

// 求解 Ax = b
Eigen::Vector2d x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);

std::cout << "x = " << x.transpose() << std::endl; // 1 3

// 验证
std::cout << "A*x = " << (A * x).transpose() << std::endl; // 5 10
return 0;
}

A.分解方法().solve(b) 就是 Eigen 解方程组的标准写法（第 29 章详解各分解方法的选择）。

18.6 实际应用

线性方程组是科学计算的核心：

• 电路分析：基尔霍夫定律列出的方程
• 结构力学：受力平衡方程
• 经济模型：投入产出方程
• 最小二乘拟合：拟合数据（第 36 章项目会用到）

很多实际问题最终都归结为"解一个 Ax = b"。

18.7 小结

• 线性方程组 = Ax = b（A 系数、x 未知、b 常数）。
• 几何意义：两条（或多条）直线的交点。
• 解有唯一解、无解、无穷多解三种情况。
• Eigen 用 A.分解().solve(b) 求解。

下一章，学习行列式与逆矩阵，理解"可逆"和"唯一解"的关系。

练习题