第 17 章 · 矩阵运算

学会矩阵的"四则运算"。其中矩阵乘法是最重要也最容易搞混的，本章重点讲透。

17.1 矩阵加减：对应元素相加减

两个尺寸相同的矩阵，对应位置的元素相加减：

[ 1 2 ] [ 5 6 ] [ 1+5 2+6 ] [ 6 8 ]
[ 3 4 ] + [ 7 8 ] = [ 3+7 4+8 ] = [ 10 12 ]

规则：同行同列的元素相加。减法同理。

17.2 数乘：每个元素都乘一个数

一个标量乘矩阵，等于矩阵每个元素都乘这个标量：

[ 1 2 ] [ 2 4 ]
2 × [ 3 4 ] = [ 6 8 ]

17.3 转置：行列互换

转置（transpose） 把矩阵"沿对角线翻转"：行变列、列变行。

[ 1 2 3 ] [ 1 4 ]
A = [ 4 5 6 ] Aᵀ = [ 2 5 ]
[ 3 6 ]

第 i 行变成第 i 列。A 的转置记作 Aᵀ（或 A.transpose()）。

对称矩阵就是"转置等于自己"的矩阵（Aᵀ = A）。

17.4 点积（内积）：两个向量的"相似度"

两个同维向量的点积（dot product）：对应分量相乘再求和。

(1, 2, 3) · (4, 5, 6) = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32

点积的意义：

• 点积 = 0，两个向量垂直（正交）
• 点积 = 两向量长度乘积，则同向
• 点积 < 0，方向大致相反

点积是衡量"两个向量有多像"的工具，在机器学习、物理里无处不在。

17.5 矩阵乘法（重点！）

这是最重要的运算，规则需要记牢。

规则

两个矩阵 A（m×n）和 B（n×p）相乘，得到 C（m×p）：

• A 的列数必须等于 B 的行数（都是 n）
• 结果 C 的第 i 行第 j 列 = A 的第 i 行 与 B 的第 j 列 的点积

例子

A = [ 1 2 ] B = [ 5 6 ]
[ 3 4 ] [ 7 8 ]

A 是 2×2，B 是 2×2，结果 C 是 2×2。

算 C(0,0)：A 第 1 行 (1,2) · B 第 1 列 (5,7) = 1×5 + 2×7 = 19

算 C(0,1)：A 第 1 行 (1,2) · B 第 2 列 (6,8) = 1×6 + 2×8 = 22

算 C(1,0)：A 第 2 行 (3,4) · B 第 1 列 (5,7) = 3×5 + 4×7 = 43

算 C(1,1)：A 第 2 行 (3,4) · B 第 2 列 (6,8) = 3×6 + 4×8 = 50

C = [ 19 22 ]
[ 43 50 ]

矩阵 × 向量

向量是"只有一列的矩阵"，所以矩阵乘向量是矩阵乘法的特殊情况：

[ 1 2 ] [ 1 ] [ 1×1 + 2×1 ] [ 3 ]
[ 3 4 ] × [ 1 ] = [ 3×1 + 4×1 ] = [ 7 ]

矩阵乘向量 = 对向量做一次"变换"（第 21 章会展开，这是理解几何的关键）。

关键性质：不满足交换律！

矩阵乘法不满足交换律：A×B ≠ B×A（大多数情况下）。

而且顺序影响尺寸：2×3 乘 3×4 可以（得 2×4），但 3×4 乘 2×3 不行（列数不等于行数）。

记忆：矩阵乘法"左矩阵的列 = 右矩阵的行"才能乘；结果尺寸 = “左行 × 右列”。

17.6 在 Eigen 里做矩阵运算

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
Eigen::Matrix2d A, B;
A << 1, 2,
3, 4;
B << 5, 6,
7, 8;

std::cout << "A + B =\\n" << A + B << "\\n\\n"; // 对应相加
std::cout << "2 * A =\\n" << 2 * A << "\\n\\n"; // 数乘
std::cout << "A * B =\\n" << A * B << "\\n\\n"; // 矩阵乘法
std::cout << "A^T =\\n" << A.transpose() << "\\n\\n"; // 转置

Eigen::Vector3d u(1, 2, 3), v(4, 5, 6);
std::cout << "点积 = " << u.dot(v) << "\\n"; // 32

return 0;
}

存成 ch17.cpp，按附录 C.3 编译运行，实际输出：

A + B =
6 8
10 12

2 * A =
2 4
6 8

A * B =
19 22
43 50

A^T =
1 3
2 4

点积 = 32

A * B 得到 19 22 / 43 50，正好等于你上面手算的结果——矩阵乘法的算法和代码是一一对应的。你可以顺手加一句 std::cout << B * A << "\\n";，看到 B * A 是 23 34 / 31 46，和 A * B 不同，交换律不成立这件事就亲眼确认了。

注意 Eigen 的 *：A * B 是矩阵乘法（不是逐元素乘）。想逐元素相乘要用 .array()（第 27 章）。这是新手最容易搞错的地方。

17.7 小结

• 加减：对应元素相加减（尺寸要相同）。
• 数乘：每个元素乘标量。
• 转置：行列互换。
• 点积：对应分量相乘求和。
• 矩阵乘法：左矩阵列数 = 右矩阵行数，结果(i,j) = 左 i 行点乘右 j 列；不满足交换律。

下一章，用矩阵表示和解线性方程组——矩阵最重要的应用。

练习题