金融波动率的“捕手”：GARCH模型，揭秘市场波动的“聚集密码”

在金融市场中，我们常常观察到这样的现象：股市暴跌后，往往会连着几天剧烈波动；而在平稳期，波动又会持续低迷。这种“高波动跟着高波动，低波动跟着低波动”的特性，被称为波动聚类（Volatility Clustering）。

过去的时间序列模型（如ARIMA）主要关注“均值”的预测，却无法捕捉这种“波动率的动态变化”。今天，我们将介绍专门为金融时间序列设计的模型——广义自回归条件异方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，简称GARCH模型）。它能精准捕捉波动率的聚类特性，是金融风险管理、期权定价的“核心工具”。

一、为什么需要GARCH？波动聚类的“痛点”

1. 金融数据的特殊之处

金融时间序列（如股票收益率、汇率波动）有一个显著特征：波动率不是恒定的，而是随时间变化的。例如：

• 2008年金融危机期间，美股单月跌幅常超10%，波动率飙升；
• 2020年疫情初期，全球股市波动率创历史新高；
• 而在经济平稳期，股市可能连续数月波动幅度小于2%。

这种“波动率时变”的特性，用传统的“同方差”模型（假设波动率恒定）无法刻画。例如，用ARIMA预测股票收益率时，会默认每天的波动风险相同，这显然与实际不符。

2. GARCH模型的核心使命

GARCH模型的核心思想：波动率（条件方差）是“自相关”的——当前的波动率不仅与过去的收益率波动有关，还与过去的波动率有关。它通过建模“条件方差”的动态变化，精准捕捉波动聚类现象。

简单说，GARCH做的是：预测“波动本身”的变化规律，而不是预测收益率的均值。

二、GARCH模型的数学原理

1. 从ARCH到GARCH

GARCH模型的前身是ARCH（自回归条件异方差）模型，由恩格尔（Engle）于1982年提出（他因此获诺贝尔经济学奖）。ARCH模型假设“当前波动率依赖过去q期的收益率平方”，但高阶ARCH模型参数过多，实用性受限。

1986年，博勒斯莱文（Bollerslev）在ARCH基础上提出GARCH模型，引入“过去的波动率”作为解释变量，大幅简化了模型结构。

2. 核心公式（GARCH(p, q)模型）

GARCH模型由两部分组成：均值方程和条件方差方程。

（1）均值方程

通常假设收益率的均值为0（或简单常数），核心关注残差的波动： $r_t=\mu +{\epsilon }_t$

其中：

• $r_t$：t时刻的金融资产收益率（如股票日收益率）；
• $\mu$：常数均值（通常接近0）；
• ${\epsilon }_t$：残差项，服从均值为0、条件方差为${\sigma }_t^2$的分布（${\epsilon }_t\sim N(0,{\sigma }_t^2)$）。

（2）条件方差方程（GARCH的核心）

${\sigma }_t^2=\omega +{\alpha }_1{\epsilon }_{t-1}^2+{\alpha }_2{\epsilon }^{}$