OFDM 梳状导频能不能无混叠恢复多径信道？

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第一章梳状导频与信道估计

1.1 OFDM 频域模型

在忽略噪声、频偏、定时误差，且循环前缀不短于多径时延的前提下，OFDM 第

$k$ 个子载波上的接收符号为

[

]

[

]

[

]

…

−

Y[k]=H[k]X[k],\\qquad k=0,1,\\dots,N-1

$Y [k] = H [k] X [k], k = 0, 1, \dots, N - 1$

其中

[

]

X[k]

$X [k]$ 是发射符号，

[

]

H[k]

$H [k]$ 是信道频率响应。设信道冲激响应为

[

]

…

−

h[l],\\quad l=0,1,\\dots,L-1

$h [l], l = 0, 1, \dots, L - 1$

即最大时延对应

−

L-1

$L - 1$ 个采样点，则

[

]

∑

−

[

]

−

H[k]=\\sum_{l=0}^{L-1}h[l]\\,e^{-j2\\pi kl/N}

$H [k] = l = 0 \sum L - 1 h [l] e^{- j 2 π k l / N}$

这里的

$N$ 是 FFT 点数，

$L$ 是信道有效抽头数。

举个例子：取

N=8

$N = 8$ 、

[

0.5

0.2

]

h=[1,\\ 0.5,\\ 0.2]

$h = [1, 0.5, 0.2]$ （

L=3

$L = 3$ ）。真实信道频率响应为

[

]

0.5

−

0.2

−

H[k]=1+0.5e^{-j2\\pi k/8}+0.2e^{-j4\\pi k/8}

$H [k] = 1 + 0.5 e^{- j 2 π k /8} + 0.2 e^{- j 4 π k /8}$

计算得：

1.2 梳状导频

梳状导频在频域每隔

$P$ 个子载波放置一个已知符号，导频子载波集合为

{

(

)

…

−

}

\\mathcal{K}_p=\\{k_p(m)=mP,\\ m=0,1,\\dots,M-1\\}

$K_{p} = {k_{p} (m) = m P, m = 0, 1, \dots, M - 1}$

其中

$P$ 是导频间隔，

$M$ 是导频个数。当

$P$ 整除

$N$ 时，导频在频域均匀分布；当

$P$ 不整除

$N$ 时，导频分布变成“准均匀”，频带边缘的间隔会与中间不同。

设导频符号为已知的

X_p

$X_{p}$ ，接收端在导频位置做最小二乘（LS）估计：

[

(

)

]

[

(

)

]

[

(

)

]

[

(

)

]

[

(

)

]

\\hat H[k_p(m)] =\\frac{Y[k_p(m)]}{X[k_p(m)]} =\\frac{H[k_p(m)]X_p}{X_p} =H[k_p(m)]

$\hat{H} [k_{p} (m)] = \frac{Y [ k _{p} ( m )]}{X [ k _{p} ( m )]} = \frac{H [ k _{p} ( m )] X _{p}}{X _{p}} = H [k_{p} (m)]$

在无噪声条件下，导频点上的 LS 估计是精确的。

举个例子：把

N=8

$N = 8$ 代进

(

)

k_p(m)=mP

$k_{p} (m) = m P$ 看看。

$m$ 从 0 开始逐个取，只要

mP<8

$m P < 8$ ，这个

$m P$ 就还在 8 点索引范围内，是一个有效导频；再往后取就超出去了。因此导频个数是

⌈

⌉

M=\\lceil 8/P\\rceil

$M = ⌈ 8/ P ⌉$ ：

$\\mathcal{K}_p Kp$	$\\{0,1,\\dots,7\\} {0,1,…,7}$	$\\{0,2,4,6\\} {0,2,4,6}$	$\\{0,3,6\\} {0,3,6}$	$\\{0,4\\} {0,4}$
导频数	8	4	3	2
沿圆周的相邻间隔	全为 1

P=1

$P = 1$ 是全插，8 个子载波全放导频。

P=2

$P = 2$ 和

P=4

$P = 4$ 都整除 8，最后一个导频绕回

k=0

$k = 0$ 时，间隔仍然是 2 和 4，整圈均匀。

P=3

$P = 3$ 不整除 8：

m=0,1,2

$m = 0, 1, 2$ 给出

0,3,6

$0, 3, 6$ ，

m=3

$m = 3$ 就是 9，超出范围，于是尾部

→

6\\to0

$6 \to 0$ 只剩

−

8-6=2

$8 - 6 = 2$ 个间隔，比中间的 3 短，这就是前面说的“准均匀”。

∼

0\\sim7

$0 \sim 7$ 里扣掉

\\mathcal{K}_p

$K_{p}$ ，剩下的就是非导频子载波，需要在这些子载波位置重建信道估计结果，下一节的三种重建方式要做的就是往这些空位上填

[

]

\\hat H[k]

$\hat{H} [k]$ 。

1.3 从导频点到全频带：三种重建方式

方式一：频域线性插值。对相邻两个导频点之间的子载波，按频率距离做线性内插：

[

]

[

]

−

(

[

]

−

[

]

)

\\hat H[k]=\\hat H[k_0]+ \\frac{k-k_0}{k_1-k_0} \\bigl(\\hat H[k_1]-\\hat H[k_0]\\bigr), \\quad k_0<k<k_1

$\hat{H} [k] = \hat{H} [k_{0}] + \frac{k - k _{0}}{k _{1} - k _{0}} (\hat{H} [k_{1}] - \hat{H} [k_{0}]), k_{0} < k < k_{1}$

频带两端按循环边界处理。线性插值实现简单，但真实的

[

]

H[k]

$H [k]$ 随频率是弯的，用直线把相邻两个导频连起来，中间的点就会偏离真值，这就是“曲率误差”，导频加密只能把它压小。

举个例子：取

P=2

$P = 2$ ，导频集合为

{

}

\\{0,2,4,6\\}

${0, 2, 4, 6}$ 。没有导频的

k=1

$k = 1$ 夹在

k=0,2

$k = 0, 2$ 之间，按上式算得

[

]

(

1.7

0.8

−

0.5

)

1.25

−

0.25

\\hat H[1]=(1.7+0.8-0.5j)/2=1.25-0.25j

$\hat{H} [1] = (1.7 + 0.8 - 0.5 j) /2 = 1.25 - 0.25 j$ 。

方式二：DFT 补零重建。当

$P$ 整除

$N$ 时，导频值

[

]

H[mP]

$H [m P]$ 恰好是

$h$ 的

N/P

$N / P$ 点 DFT（

$L$ 超过

N/P

$N / P$ 时会先折叠，见 2.1）。对导频序列做

N/P

$N / P$ 点 IDFT 得到时域信道估计，补零到

$N$ 点后再做

$N$ 点 FFT，就得到全部子载波上的

[

]

\\hat H[k]

$\hat{H} [k]$ 。

举个例子：换用 DFT 补零方法求

k=1

$k = 1$ 下的频率响应。IDFT 之前的四个导频值（取自 1.1 的表）是

k_p kp​0246

H[k_p] H[kp​]

对这四个值做 4 点 IDFT，得

[

0.5

0.2

]

[1,\\ 0.5,\\ 0.2,\\ 0]

$[1, 0.5, 0.2, 0]$ ；末尾补四个零到 8 点，得

[

0.5

0.2

]

[1,\\ 0.5,\\ 0.2,\\ 0,\\ 0,\\ 0,\\ 0,\\ 0]

$[1, 0.5, 0.2, 0, 0, 0, 0, 0]$ 。再做 8 点 FFT：

\\hat H[k] H^[k]

与 1.1 的真实

[

]

H[k]

$H [k]$ 逐点相同，

k=1

$k = 1$ 上就是

[

]

1.3536

−

0.5536

\\hat H[1]=1.3536-j0.5536

$\hat{H} [1] = 1.3536 - j 0.5536$ 。

方式三：时域 LS 重建。该方法不要求

$P$ 整除

$N$ ：设信道抽头数上界为

\\hat L

$\hat{L}$ ，构造导频位置的观测矩阵

−

(

)

…

−

…

−

A_{m,l}=e^{-j2\\pi k_p(m)l/N}, \\quad m=0,\\dots,M-1,\\ l=0,\\dots,\\hat L-1

$A_{m, l} = e^{- j 2 π k_{p} (m) l / N}, m = 0, \dots, M - 1, l = 0, \dots, \hat{L} - 1$

解最小二乘

arg

⁡

min

⁡

∥

−

∥

\\hat{h}=\\arg\\min_{h}\\Vert Ah-\\hat{H}_p\\Vert^2

$\hat{h} = ar g h min ∥ A h - \hat{H}_{p} ∥^{2}$

再算

[

]

∑

[

]

−

\\hat H[k]=\\sum_l \\hat h[l]e^{-j2\\pi kl/N}

$\hat{H} [k] = l \sum \hat{h} [l] e^{- j 2 π k l / N}$

当导频数

≥

M\\ge \\hat L

$M \geq \hat{L}$ 且导频频率点互异时，

$A$ 列满秩，无噪声下可精确恢复。

举个例子：仍取

P=2

$P = 2$ 的四个导频、设

\\hat L=3

$\hat{L} = 3$ ，按上面的公式把

k=1

$k = 1$ 完整算一遍。

第一步，列出观测值。导频位置的 LS 估计值取自 1.1 的表：

$k_p(m) kp(m)$	0	2	4	6
$\\hat H_p[m] H^p[m]$

第二步，构造

$A$ 。把

N=8

$N = 8$ 、

\\hat L=3

$\hat{L} = 3$ 代进

−

(

)

A_{m,l}=e^{-j2\\pi k_p(m)l/N}

$A_{m, l} = e^{- j 2 π k_{p} (m) l / N}$ ，四个导频对应的相位因子依次是

$1$ 、

−

e^{-j\\pi l/2}

$e^{- j π l /2}$ 、

−

e^{-j\\pi l}

$e^{- j π l}$ 、

−

e^{-j3\\pi l/2}

$e^{- j 3 π l /2}$ ；让

$l$ 取

0,1,2

$0, 1, 2$ ，得到

[

−

]

[

1.7

0.8

−

0.5

0.7

0.8

0.5

]

A=\\begin{bmatrix}1&1&1\\\\1&-j&-1\\\\1&-1&1\\\\1&j&-1\\end{bmatrix},\\qquad \\hat H_p=\\begin{bmatrix}1.7\\\\0.8-0.5j\\\\0.7\\\\0.8+0.5j\\end{bmatrix}

$A =$

11111−j−1j1−11−1

,H^p=

1.70.8−0.5j0.70.8+0.5j

比如第二行

k_p=2

$k_{p} = 2$ 的两个相位因子是

−

e^{-j\\pi/2}=-j

$e^{- j π /2} = - j$ 、

−

e^{-j\\pi}=-1

$e^{- j π} = - 1$ ，该行乘

$h$ 得

−

0.5

−

0.2

0.8

−

0.5

1-0.5j-0.2=0.8-0.5j

$1 - 0.5 j - 0.2 = 0.8 - 0.5 j$ ；第四行

k_p=6

$k_{p} = 6$ 是

−

e^{-j3\\pi/2}=j

$e^{- j 3 π /2} = j$ 、

−

e^{-j3\\pi}=-1

$e^{- j 3 π} = - 1$ ，乘

$h$ 得

0.5

−

0.2

0.8

0.5

1+0.5j-0.2=0.8+0.5j

$1 + 0.5 j - 0.2 = 0.8 + 0.5 j$ 。两行分别与表中的

[

]

\\hat H_p[1]

$\hat{H}_{p} [1]$ 、

[

]

\\hat H_p[3]

$\hat{H}_{p} [3]$ 对得上，矩阵没构造错。

第三步，解最小二乘。这里

M=4>\\hat L=3

$M = 4 > \hat{L} = 3$ ，方程比未知数多一个；但无噪声下

\\hat H_p

$\hat{H}_{p}$ 恰好落在

$A$ 的列空间里，所以仍有精确解。走正规方程

A^{H}A\\hat h=A^{H}\\hat H_p

$A^{H} A \hat{h} = A^{H} \hat{H}_{p}$ ：

$A$ 的三列两两正交，每列模方都是 4，故

[

0.8

]

A^{H}A=4I,\\qquad A^{H}\\hat H_p=[4,\\ 2,\\ 0.8]^T

$A^{H} A = 4 I, A^{H} \hat{H}_{p} = [4, 2, 0.8]^{T}$

(

)

−

[

0.8

]

[

0.5

0.2

]

\\hat h=(A^{H}A)^{-1}A^{H}\\hat H_p=\\frac{1}{4}[4,\\ 2,\\ 0.8]^T=[1,\\ 0.5,\\ 0.2]^T

$\hat{h} = (A^{H} A)^{- 1} A^{H} \hat{H}_{p} = \frac{1}{4} [4, 2, 0.8]^{T} = [1, 0.5, 0.2]^{T}$

三个抽头与真实

$h$ 逐个相同。这里的

\\frac{1}{4}A^{H}

$\frac{1}{4} A^{H}$ 正是 4 点 IDFT 的前三行，所以

$P$ 整除

$N$ 时，方式三解出的抽头和方式二 4 点 IDFT 得到的序列前三项是同一组数。

第四步，代回求

[

]

\\hat H[1]

$\hat{H} [1]$ 。

k=1

$k = 1$ 时

−

e^{-j2\\pi l/8}

$e^{- j 2 π l /8}$ 在

l=0,1,2

$l = 0, 1, 2$ 上依次是

$1$ 、

−

0.7071

−

0.7071

e^{-j\\pi/4}=0.7071-0.7071j

$e^{- j π /4} = 0.7071 - 0.7071 j$ 、

−

e^{-j\\pi/2}=-j

$e^{- j π /2} = - j$ ，于是

[

]

0.5

(

0.7071

−

0.7071

)

0.2

(

−

)

1.3536

−

0.5536

\\hat H[1]=1+0.5(0.7071-0.7071j)+0.2(-j)=1.3536-j0.5536

$\hat{H} [1] = 1 + 0.5 (0.7071 - 0.7071 j) + 0.2 (- j) = 1.3536 - j 0.5536$

与 1.1 的真实值相同，误差为 0。其余 7 个子载波照此代回，得到的

[

]

\\hat H[k]

$\hat{H} [k]$ 与方式二那张表逐点相同。

真实值

[

]

1.3536

−

0.5536

H[1]=1.3536-j0.5536

$H [1] = 1.3536 - j 0.5536$ ，方式二和方式三算出的

[

]

\\hat H[1]

$\hat{H} [1]$ 与它完全相同，方式一的误差模值是

0.3207

$0.3207$ 。同一组导频、同一个子载波，差别只来自重建方式；第三章会用线性插值和 DFT 补零把整条频带上的误差统计出来。

第二章导频间隔与信道估计的无混叠恢复条件

2.1 频域采样等价于时域周期延拓

设

$P$ 整除

$N$ ，记

M=N/P

$M = N / P$ （这时它正好是 1.2 里那个导频数），只保留

k=mP

$k = m P$ 上的频域值。把

k=mP

$k = m P$ 代进 1.1 的频率响应式：

[

]

∑

−

[

]

−

∑

−

[

]

−

H[mP]=\\sum_{l=0}^{L-1}h[l]\\,e^{-j2\\pi mPl/N}=\\sum_{l=0}^{L-1}h[l]\\,e^{-j2\\pi ml/M}

$H [m P] = l = 0 \sum L - 1 h [l] e^{- j 2 π m P l / N} = l = 0 \sum L - 1 h [l] e^{- j 2 π m l / M}$

把

N/P

$N / P$ 写成

$M$ 只是记号。真正起作用的是指数里的

−

e^{-j2\\pi ml/M}

$e^{- j 2 π m l / M}$ ：它在

$l$ 上加

$M$ 的整数倍不变，因为

−

(

)

−

⋅

−

e^{-j2\\pi m(l+M)/M}=e^{-j2\\pi ml/M}\\cdot e^{-j2\\pi m}=e^{-j2\\pi ml/M}

$e^{- j 2 π m (l + M) / M} = e^{- j 2 π m l / M} \cdot e^{- j 2 π m} = e^{- j 2 π m l / M}$

也就是对导频来说，抽头下标

$l$ 只有除以

$M$ 的余数有意义，

l=0

$l = 0$ 与

l=M

$l = M$ 、

l=2M

$l = 2 M$ 给出的相位因子完全一样，光看导频分不出来。

既然只认余数，就把每个下标写成

′

l=l'+qM

$l = l^{'} + q M$ （

≤

′

0\\le l'<M

$0 \leq l^{'} < M$ ），再把余数相同的抽头并成一项：

[

]

∑

′

−

(

∑

[

′

]

)

−

′

H[mP]=\\sum_{l'=0}^{M-1}\\left(\\sum_q h[l'+qM]\\right)e^{-j2\\pi ml'/M}

$H [m P] = l^{'} = 0 \sum M - 1 (q \sum h [l^{'} + q M]) e^{- j 2 π m l^{'} / M}$

括号里那串

[

′

]

[

′

]

[

′

]

⋯

h[l']+h[l'+M]+h[l'+2M]+\\cdots

$h [l^{'}] + h [l^{'} + M] + h [l^{'} + 2 M] + \dots$ 就是

per

[

′

]

h_{\\text{per}}[l']

$h_{per} [l^{'}]$ 。代回去能看出，

$M$ 个导频值恰好是

per

h_{\\text{per}}

$h_{per}$ 的

$M$ 点 DFT；反过来，对导频值做

$M$ 点 IDFT，拿到的就是括号里的序列：

per

[

]

∑

[

]

[

]

[

]

[

]

⋯

…

−

h_{\\text{per}}[l]=\\sum_q h[l+qM]=h[l]+h[l+M]+h[l+2M]+\\cdots,\\qquad l=0,\\dots,M-1

$h_{per} [l] = q \sum h [l + q M] = h [l] + h [l + M] + h [l + 2 M] + \dots, l = 0, \dots, M - 1$

式子到这里就出来了，来路只有两步：

$M$ 点 DFT 只认

$l$ 除以

$M$ 的余数，余数相同的抽头合成一格。原来的

$h$ 有

$L$ 个抽头，被摊进

$M$ 个格子，各按自己的余数入座，落进同一格的直接相加。

换个方向验一遍也成立：把

per

[

′

]

∑

−

[

]

′

h_{\\text{per}}[l']=\\frac{1}{M}\\sum_{m=0}^{M-1}H[mP]e^{j2\\pi ml'/M}

$h_{per} [l^{'}] = \frac{1}{M} \sum_{m = 0}^{M - 1} H [m P] e^{j 2 π m l^{'} / M}$ 展开、代入上面

[

]

H[mP]

$H [m P]$ 的表达式、交换求和次序，内层就是

∑

−

(

′

−

)

{

′

−

其他

\\frac{1}{M}\\sum_{m=0}^{M-1}e^{j2\\pi m(l'-l)/M}=\\begin{cases}1, & l'-l=qM\\\\ 0, & \\text{其他}\\end{cases}

$\frac{1}{M} m = 0 \sum M - 1 e^{j 2 π m (l^{'} - l) / M} = {1, 0, l^{'} - l = q M 其他$

它只放行余数相同的项，其余全被抵消。每个抽头

[

]

h[l]

$h [l]$ 因此只落进

′

$l^{'}$ 这一格，与上面的结论一致。

再说“周期延拓”这个叫法。把上式里的

$l$ 放开到任意整数，令

[

]

∑

[

]

h_p[l]=\\sum_q h[l+qM]

$h_{p} [l] = \sum_{q} h [l + q M]$ （就是把

per

h_{\\text{per}}

$h_{per}$ 向两侧无限复制），那么

[

]

[

]

h_p[l+M]=h_p[l]

$h_{p} [l + M] = h_{p} [l]$ ，

h_p

$h_{p}$ 就是以

$M$ 为周期的序列。

$M$ 点 IDFT 给出的只是它的一个周期，把这个周期反复复制铺满时间轴才是完整的

h_p

$h_{p}$ ；换句话说，

$h$ 里每个抽头都在相隔

$M$ 个点的位置上各出现一次，副本间距就是

$M$ 。

≥

M\\ge L

$M \geq L$ 时一格里最多落进一个抽头，延拓的结果只是把抽头挪了位置、空处补零；

M<L

$M < L$ 时一格里挤进两个以上抽头，相加之后再也分不开，这就是混叠。

也就是说：

频域每隔

$P$ 个点采样一次，等价于时域以

N/P

$N / P$ 个采样点为周期做周期延拓。

举个例子：仍取

N=8

$N = 8$ 、

[

0.5

0.2

]

h=[1,\\ 0.5,\\ 0.2]

$h = [1, 0.5, 0.2]$ 。先看

P=2

$P = 2$ ，此时周期

N/P=4

$N / P = 4$ ，把

[

]

[

]

[

]

[

]

H[0],H[2],H[4],H[6]

$H [0], H [2], H [4], H [6]$ 做 4 点 IDFT，例如

per

[

]

1.7

(

0.8

−

0.5

)

0.7

(

0.8

0.5

)

h_{\\text{per}}[0]=\\frac{1.7+(0.8-0.5j)+0.7+(0.8+0.5j)}{4}=1

$h_{per} [0] = \frac{1.7 + ( 0.8 - 0.5 j ) + 0.7 + ( 0.8 + 0.5 j )}{4} = 1$

per

[

]

1.7

(

−

0.5

−

0.8

)

−

0.7

(

−

0.5

0.8

)

h_{\\text{per}}[3]=\\frac{1.7+(-0.5-0.8j)-0.7+(-0.5+0.8j)}{4}=0

$h_{per} [3] = \frac{1.7 + ( - 0.5 - 0.8 j ) - 0.7 + ( - 0.5 + 0.8 j )}{4} = 0$

四个位置的结果是

h_{\\text{per}}[l] hper​[l]

这就是

[

0.5

0.2

]

h=[1,\\ 0.5,\\ 0.2]

$h = [1, 0.5, 0.2]$ 末尾补一个零。因为

≤

L=3\\le N/P=4

$L = 3 \leq N / P = 4$ ，求和式

∑

[

⋅

]

\\sum_q h[l+q\\cdot4]

$\sum_{q} h [l + q \cdot 4]$ 里只有

q=0

$q = 0$ 那一份非零，切出的第二段全是零，叠了等于没叠。所以这一组数看着就是普通补零，确实看不出“周期延拓”。

把

$P$ 换成 4，周期缩到

N/P=2

$N / P = 2$ ，比

$h$ 还短，延拓就藏不住了。这时导频只剩

[

]

1.7

H[0]=1.7

$H [0] = 1.7$ 、

[

]

0.7

H[4]=0.7

$H [4] = 0.7$ ，做 2 点 IDFT：

per

[

]

1.7

0.7

1.2

per

[

]

1.7

−

0.7

0.5

h_{\\text{per}}[0]=\\frac{1.7+0.7}{2}=1.2,\\qquad h_{\\text{per}}[1]=\\frac{1.7-0.7}{2}=0.5

$h_{per} [0] = \frac{1.7 + 0.7}{2} = 1.2, h_{per} [1] = \frac{1.7 - 0.7}{2} = 0.5$

对照折叠式，

l=0

$l = 0$ 收的是

[

]

[

]

0.2

1.2

h[0]+h[2]=1+0.2=1.2

$h [0] + h [2] = 1 + 0.2 = 1.2$ ，

l=1

$l = 1$ 收的只有

[

]

0.5

h[1]=0.5

$h [1] = 0.5$ 。下标 2 已经落在第二段里，抽头

[

]

h[2]

$h [2]$ 被搬回

l=0

$l = 0$ ，和

[

]

h[0]

$h [0]$ 加在一起变成

1.2

$1.2$ ，这两个抽头从此再也分不开：换成

[

]

0.8

h[0]=0.8

$h [0] = 0.8$ 、

[

]

0.4

h[2]=0.4

$h [2] = 0.4$ ，格 0 仍是

0.8

0.4

1.2

0.8+0.4=1.2

$0.8 + 0.4 = 1.2$ ，

[

]

0.8

0.5

0.4

1.7

H[0]=0.8+0.5+0.4=1.7

$H [0] = 0.8 + 0.5 + 0.4 = 1.7$ 、

[

]

0.8

−

0.5

0.4

0.7

H[4]=0.8-0.5+0.4=0.7

$H [4] = 0.8 - 0.5 + 0.4 = 0.7$ ，两个导频值一个都没变。可见 2 点 IDFT 给出的正是折叠相加的结果，而不是原来的

$h$ ——这就是周期延拓带来的混叠。

2.2 无混叠条件

真实信道只在

…

−

l=0,\\dots,L-1

$l = 0, \dots, L - 1$ 上非零。要让周期延拓的各副本互不重叠，必须

≤

L\\le \\frac{N}{P}

$L \leq \frac{N}{P}$

等价地

≤

P\\le \\frac{N}{L}

$P \leq \frac{N}{L}$

满足该条件时，一个周期内的

per

[

]

h_{\\text{per}}[l]

$h_{per} [l]$ 就等于原

[

]

h[l]

$h [l]$ ，可以由导频值无失真地恢复全部

[

]

H[k]

$H [k]$ 。不满足时，不同时延抽头会折叠到同一位置，产生混叠，任何插值都无法区分。

当

L=N/P

$L = N / P$ 时是临界情形：副本首尾相接但不重叠，理论上仍可恢复，但没有留任何余量。

对于

$P$ 不整除

$N$ 的情况，均匀 DFT 补零的判据不能直接套用；此时要看导频数

$M$ 是否不少于未知抽头数，以及导频频率点构造的观测矩阵是否列满秩。若

M<L

$M < L$ ，则必然无法精确恢复。

举个例子：把

N=8

$N = 8$ 、

L=3

$L = 3$ 代进

≤

L\\le N/P

$L \leq N / P$ ：

	8	4	2
与	$\\ge ≥$	$\\ge ≥$
副本是否重叠	否	否	是

P=1,2

$P = 1, 2$ 都不混叠，

P=2

$P = 2$ 只留一个抽头的余量；

P=4

$P = 4$ 时周期长度只有 2，装不下 3 个抽头，

[

]

h[2]

$h [2]$ 会折到

l=0

$l = 0$ 上（2.1 已经用 2 点 IDFT 算出折叠后的

1.2

$1.2$ ）。

P=3

$P = 3$ 不整除

$N$ ，这张表判不了，改看导频数：

M=3

$M = 3$ 不小于

L=3

$L = 3$ ，三个导频频率点又互异，剩下的就是

$A$ 是否列满秩，如果满秩则可以解出信道估计结果。

2.3 线性插值为什么还会额外出错

无混叠条件只保证“存在一种理想重建方式可以精确恢复”，它并不保证线性插值精确。线性插值只用了相邻两个导频点，相当于用一个分段直线去逼近

[

]

H[k]

$H [k]$ 的曲线。

[

]

H[k]

$H [k]$ 是

$L$ 个复指数的叠加，其频率选择性越强，曲线弯曲越厉害，线性插值的曲率误差就越大。

因此实际误差由两部分组成：

混叠误差：导频间隔超过无混叠边界，或导频数少于未知抽头数时出现；

插值误差：即使无混叠，线性插值也始终存在。

直接量一下

P=2

$P = 2$ 时

[

]

H[k]

$H [k]$ 的弯曲程度。线性插值在

k=1,3

$k = 1, 3$ 处取的就是两端导频的中点，与真实值相减：

[

]

[

]

−

[

]

−

0.1036

0.3036

[

]

[

]

−

[

]

0.1036

−

0.0964

\\frac{H[0]+H[2]}{2}-H[1]=-0.1036+j0.3036,\\qquad \\frac{H[2]+H[4]}{2}-H[3]=0.1036-j0.0964

$\frac{H [ 0 ] + H [ 2 ]}{2} - H [1] = - 0.1036 + j 0.3036, \frac{H [ 2 ] + H [ 4 ]}{2} - H [3] = 0.1036 - j 0.0964$

模分别是

0.3207

$0.3207$ 和

0.1415

$0.1415$ 。

P=2

$P = 2$ 满足

≤

L=3\\le N/P=4

$L = 3 \leq N / P = 4$ ，本不该有混叠，可这两处偏差都不为零，大小还不一样——它们正是线性插值丢掉的曲率。换用 DFT 补零，这两个点上的

[

]

\\hat H[k]

$\hat{H} [k]$ 与

[

]

H[k]

$H [k]$ 逐点相等。可见这部分误差与混叠无关，加密导频只能把它压小，只要还有非导频点就消不干净。

第三章计算实例

3.1 用于对比的信道频率响应例子

1.1 已经给出

N=8

$N = 8$ 、

[

0.5

0.2

]

h=[1,\\ 0.5,\\ 0.2]

$h = [1, 0.5, 0.2]$ （

L=3

$L = 3$ ）和 8 个

[

]

H[k]

$H [k]$ 的具体数值，这里沿用，不再重复。

由 Parseval 关系：

∑

∣

[

]

∣

∑

∣

[

]

∣

(

0.25

0.04

)

10.32

\\sum_{k=0}^{7}\\vert H[k]\\vert^2=8\\sum_{l=0}^{2}\\vert h[l]\\vert^2=8(1+0.25+0.04)=10.32

$k = 0 \sum 7 ∣ H [k] ∣^{2} = 8 l = 0 \sum 2 ∣ h [l] ∣^{2} = 8 (1 + 0.25 + 0.04) = 10.32$

后文归一化 MSE 均除以

10.32

$10.32$ 。

3.2 隔 1 插 1（P=2）：4 个导频

导频在

k=0,2,4,6

$k = 0, 2, 4, 6$ ，非导频点是

k=1,3,5,7

$k = 1, 3, 5, 7$ 。

线性插值：非导频点取相邻两个导频的中点，例如

[

]

[

]

[

]

1.7

(

0.8

−

0.5

)

1.25

−

0.25

\\hat H[1]=\\frac{H[0]+H[2]}{2}=\\frac{1.7+(0.8-0.5j)}{2}=1.25-0.25j

$\hat{H} [1] = \frac{H [ 0 ] + H [ 2 ]}{2} = \frac{1.7 + ( 0.8 - 0.5 j )}{2} = 1.25 - 0.25 j$

真实值

[

]

1.3536

−

0.5536

H[1]=1.3536-j0.5536

$H [1] = 1.3536 - j 0.5536$ ，误差模值约

0.3207

$0.3207$ 。四个点全算出来：

\\hat H[k] H^[k] ∣ e k ∣ \\vert e_k \\vert ∣ek​∣

1			0.3207
3			0.1415
5			0.1415
7			0.3207

误差平方和：

∑

∣

0.2458

\\sum \\vert e_k \\vert^2=0.2458

$\sum ∣ e_{k} ∣^{2} = 0.2458$

归一化 MSE：

MSE

linear

0.2458

10.32

2.38

−

\\text{MSE}_{P=2,\\text{linear}} =\\frac{0.2458}{10.32} =2.38\\times10^{-2}

$MSE_{P = 2, linear} = \frac{0.2458}{10.32} = 2.38 \times 1 0^{- 2}$

DFT 补零：导频值

[

]

[

]

[

]

[

]

H[0],H[2],H[4],H[6]

$H [0], H [2], H [4], H [6]$ 做 4 点 IDFT，得到

per

[

0..3

]

h_{\\text{per}}[0..3]

$h_{per} [0..3]$ 。因为

≤

L=3\\le \\frac{N}{P}=4

$L = 3 \leq \frac{N}{P} = 4$

延拓不重叠，

per

[

0..2

]

[

0..2

]

h_{\\text{per}}[0..2]=h[0..2]

$h_{per} [0..2] = h [0..2]$ ，补零到 8 点再做 FFT，得到全部

[

]

\\hat H[k]

$\hat{H} [k]$ ，与真实值逐点相等。八个点的数值就是 1.3 方式二那张 FFT 结果表，这里不再重列。

MSE

DFT

\\text{MSE}_{P=2,\\text{DFT}}=0

$MSE_{P = 2, DFT} = 0$

3.3 隔 3 插 1（P=4）：2 个导频

导频在

k=0,4

$k = 0, 4$ ，此时

M=2<L=3

$M = 2 < L = 3$

抽头数比导频数多，混叠已经无法避免，两种方法都回不到零误差。

线性插值：导频间距是 4，两段都是走 4 步、高度差

1.0

$1.0$ ，斜率大小相同、符号相反：

[

]

1.7

0.7

−

1.7

−

0.25

\\hat H[k]=1.7+\\frac{0.7-1.7}{4}d =1.7-0.25d

$\hat{H} [k] = 1.7 + \frac{0.7 - 1.7}{4} d = 1.7 - 0.25 d$

第一段以

k=0

$k = 0$ 为起点，

$d$ 取 1 到 3 依次是

k=1,2,3

$k = 1, 2, 3$ ；第二段从

k=4

$k = 4$ 的

0.7

$0.7$ 出发往上走，

$d$ 取 1 到 3 对应

k=5,6,7

$k = 5, 6, 7$ 。计算得：

\\hat H[k] H^[k] ∣ e k ∣ \\vert e_k \\vert ∣ek​∣

1			0.5619
2			0.6403
3			0.3402
5			0.3402
6			0.6403
7			0.5619

误差平方和：

∑

∣

1.6829

\\sum \\vert e_k \\vert^2=1.6829

$\sum ∣ e_{k} ∣^{2} = 1.6829$

归一化 MSE：

MSE

linear

1.6829

10.32

1.63

−

\\text{MSE}_{P=4,\\text{linear}} =\\frac{1.6829}{10.32} =1.63\\times10^{-1}

$MSE_{P = 4, linear} = \frac{1.6829}{10.32} = 1.63 \times 1 0^{- 1}$

DFT 补零： 2 个导频值

[

]

1.7

H[0]=1.7

$H [0] = 1.7$ 、

[

]

0.7

H[4]=0.7

$H [4] = 0.7$ 做 2 点 IDFT：

per

[

]

1.7

0.7

1.2

per

[

]

1.7

−

0.7

0.5

h_{\\text{per}}[0]=\\frac{1.7+0.7}{2}=1.2, \\qquad h_{\\text{per}}[1]=\\frac{1.7-0.7}{2}=0.5

$h_{per} [0] = \frac{1.7 + 0.7}{2} = 1.2, h_{per} [1] = \frac{1.7 - 0.7}{2} = 0.5$

这正是

[

]

[

]

0.2

1.2

h[0]+h[2]=1+0.2=1.2

$h [0] + h [2] = 1 + 0.2 = 1.2$ 、

[

]

0.5

h[1]=0.5

$h [1] = 0.5$ 的混叠结果。补零到 8 点再做 FFT：

[

]

1.2

0.5

−

\\hat H[k]=1.2+0.5e^{-j2\\pi k/8}

$\hat{H} [k] = 1.2 + 0.5 e^{- j 2 π k /8}$

与真实值的误差为

[

]

0.2

−

0.2

−

e[k]=0.2-0.2e^{-j\\pi k/2}

$e [k] = 0.2 - 0.2 e^{- j π k /2}$

∣

[

]

∣

0.08

(

−

cos

⁡

(

)

\\vert e[k]\\vert^2=0.08\\bigl(1-\\cos(\\pi k/2)\\bigr)

$∣ e [k] ∣^{2} = 0.08 (1 - cos (π k /2))$

对

…

k=0,\\dots,7

$k = 0, \dots, 7$ 求和：

∑

∣

[

]

∣

0.64

\\sum \\vert e[k]\\vert^2=0.64

$\sum ∣ e [k] ∣^{2} = 0.64$

因此

MSE

DFT

0.64

10.32

6.20

−

\\text{MSE}_{P=4,\\text{DFT}} =\\frac{0.64}{10.32} =6.20\\times10^{-2}

$MSE_{P = 4, DFT} = \frac{0.64}{10.32} = 6.20 \times 1 0^{- 2}$

虽然比线性插值的

1.63

−

1.63\\times10^{-1}

$1.63 \times 1 0^{- 1}$ 好，但已经回不到零误差。

3.4 汇总对比

导频间隔

\\sum \\vert e_k \\vert^2 ∑∣ek​∣2线性插值归一化 MSEDFT 补零归一化 MSE

2		4	0.2458	$2.38\\times10^{-2} 2.38×10−2$
4		2	1.6829	$1.63\\times10^{-1} 1.63×10−1$	$6.20\\times10^{-2} 6.20×10−2$

三条结论：

导频点本身永远精确，误差全部来自非导频点重建。

线性插值两种配置都回不到零，原因还不一样：

2.38\\times10^{-2} 2.38×10−2 纯粹是曲率误差； P = 4 P=4 P=4 的 1.63 × 10 − 1 1.63\\times10^{-1} 1.63×10−1 里既有 M = 2 < L = 3 M=2<L=3 M=2<L=3 的信息缺口，也有间距从 2 拉到 4 之后更厉害的曲率，约为 P = 2 P=2 P=2 的 6.85 倍。

DFT 补零的边界就是无混叠条件：

L=3\\le N/P=4 L=3≤N/P=4，重建结果与真实值逐点相等； P = 4 P=4 P=4 时 N / P = 2 < L = 3 N/P=2<L=3 N/P=2<L=3，抽头在时域已经折到一起， 6.20 × 10 − 2 6.20\\times10^{-2} 6.20×10−2 这笔误差是混叠的代价，换哪种重建方式都消不掉。

方式三（时域 LS）没有单列进来：

P=2

$P = 2$ 时

≥

M=4\\ge\\hat L=3

$M = 4 \geq \hat{L} = 3$ ，它解出的抽头与 DFT 补零是同一组数（1.3 已经算过）；

P=4

$P = 4$ 时

M=2<L=3

$M = 2 < L = 3$ ，按

\\hat L=3

$\hat{L} = 3$ 建的矩阵是 2 个方程解 3 个未知数，解不唯一，误差也没法和另外两种摆在一起比——真把

\\hat L

$\hat{L}$ 降到 2，它就退化成方式二，误差同样是

6.20

−

6.20\\times10^{-2}

$6.20 \times 1 0^{- 2}$ 。

如果本文恰好能帮到你，那是我的荣幸，欢迎点赞收藏。

OFDM 梳状导频能不能无混叠恢复多径信道？

第一章梳状导频与信道估计

1.1 OFDM 频域模型

1.2 梳状导频

1.3 从导频点到全频带：三种重建方式

第二章导频间隔与信道估计的无混叠恢复条件

2.1 频域采样等价于时域周期延拓

2.2 无混叠条件

2.3 线性插值为什么还会额外出错

第三章计算实例

3.1 用于对比的信道频率响应例子

3.2 隔 1 插 1（P=2）：4 个导频

3.3 隔 3 插 1（P=4）：2 个导频

3.4 汇总对比

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