三维CAD关键技术探讨（十三）——拓扑实体面

第13章 拓扑实体面

章节定位：B-Rep 拓扑层次中连接环与壳的关键二维实体
关键词：拓扑面；B-Rep；参数域；p-curve；第一/第二基本形式；法向定向；自交修复

摘要

面（Face）是 B-Rep 拓扑层次中的二维实体，关联一个曲面作为几何支撑，由外环与内环界定其在参数域上的区域。面是几何与拓扑交汇的核心：既承载拓扑结构（环边界、方向、邻接），又承载几何信息（曲面方程、法向、曲率）。本章系统建立面的原理、表示、操作与工程细节，涵盖参数域修剪、方向定向、p-curve 表示、第一/第二基本形式、面积积分、点在面内判定、面到点距离、布尔切分等关键内容，并给出主流内核（OCCT/Parasolid/CGM/ACIS/Granite）的实现对比与工程调优建议。本章是理解 B-Rep 几何表达的核心一章，为第 14 章壳与体铺垫。

13.1 概述与背景

在 B-Rep 拓扑层次中，面（Face）是连接环与壳的关键二维实体，也是几何造型中工程师最直接感知的实体——一个零件的每一个平整表面、每一个圆柱面、每一个自由曲面都是 B-Rep 中的一个面。面关联一个曲面作为几何支撑，并由一个外环（定义主体边界）和零或多个内环（定义孔）界定其在曲面上的区域。

面是 B-Rep 中几何与拓扑交汇的核心：

• 拓扑结构：环边界、方向、邻接；
• 几何信息：曲面方程、法向、曲率。

几乎所有几何操作都围绕面展开：

面的表示与处理质量直接决定内核的几何表达能力与鲁棒性。

13.1.1 面的工程实现八大要素

面的工程实现是 B-Rep 中最丰富的：

本章将系统建立面的原理、表示、操作与工程细节。

13.2 历史与发展演进

面作为拓扑实体与 B-Rep 同生。

至今，面的表示与处理已标准化，各内核差异在曲面类型支持与容差模型。

13.3 核心概念与定义

13.3.1 面（Face）

B-Rep 拓扑层次的二维实体，关联一个曲面（几何支撑），由外环 + 内环界定参数域区域。

13.3.2 几何支撑

面关联一个曲面：平面（Geom_Plane）、圆柱（Geom_CylindricalSurface）、圆锥、球、环面（解析曲面）、NURBS 曲面（Geom_BSplineSurface）、贝塞尔曲面、旋转曲面、拉伸曲面等。

13.3.3 参数域与修剪

面关联曲面 $S(u,v)$ 与参数域 $D$。$D$ 由外环（主体）$-$ 内环（孔）定义。面是：

$$F=S(D)=\{S(u,v):(u,v)\in D\}$$

修剪曲面支持任意形状面。

13.3.4 外环与内环

• 外环：定义面主体边界（参数域外边界）；
• 内环：定义孔（参数域内边界）。

环在参数域上是 p-curve。

13.3.5 方向（Orientation）

FORWARD（法向取曲面自然法向）或 REVERSED（取反）。面法向：

$$\mathbf{n}(u,v)=\text{orientation}\times \frac{\partial S/\partial u\times \partial S/\partial v}{\left|\partial S/\partial u\times \partial S/\partial v\right|}$$

13.3.6 容差（Tolerance）

面带容差 $\epsilon$。边到面距离 $\le \epsilon$ 即贴合。容差面是容差建模的基础。

13.3.7 自交

曲面 $S(u,v)$ 自交——存在 $(u_1,v_1)\ne (u_2,v_2)$ 使 $S(u_1,v_1)=S(u_2,v_2)$。合法面不应自交，自交需修复。

13.3.8 参数表示与 p-curve

面上点 $S(u,v)$，$(u,v)\in D$。法向、曲率在参数域计算。p-curve 是面环边在参数域的像（Geom2d_Curve），使面上边操作在 2D 参数域进行。

13.3.9 共享

两面共享边时，边对象共享。面本身被壳引用时共享。

13.4 技术原理详解

面的工程实现围绕“表示、创建、查询、求值、方向、修剪、自交”展开。

13.4.1 表示

OCCT 的 TopoDS_Face 是轻量句柄，实际数据在 BRep_TFace（TShape）中：

TopoDS_Face 加 Orientation。

13.4.2 创建

13.4.3 查询

13.4.4 求值

面上一点 $S(u,v)$：Geom_Surface::Value(u,v)。法向：D1(u,v) 返回 $\partial S/\partial u,\partial S/\partial v$，叉积得法向。曲率：D2 返回二阶导，计算高斯曲率、主曲率。BRepAdaptor_Surface 封装。

13.4.5 方向处理

面法向 = $\text{orientation}\times (\partial S/\partial u\times \partial S/\partial v)$。FORWARD 取自然法向，REVERSED 取反。方向决定面在体中朝外还是朝内（外壳面法向朝外、内壳朝内）。

13.4.6 修剪与参数域

面参数域 $D$ 由外环 $-$ 内环定义。点在面上：$S^{-1}(p)\in D$。点在面内判定：参数 $(u,v)$ 在外环内且所有内环外。面积：

A=∬D∣∂S∂u×∂S∂v∣ du dv
A = \\iint_D \\left| \\frac{\\partial S}{\\partial u} \\times \\frac{\\partial S}{\\partial v} \\right| \\, du \\, dv
A=∬D​​∂u∂S​×∂v∂S​​dudv

13.4.7 p-curve

面环边在参数域的像。BRep_Tool::CurveOnSurface(edge, surface) 查询。p-curve 使面上边操作（求交、分类）在 2D 参数域进行，降维提效。

13.4.8 自交检测

曲面自交检测：采样参数域，找 $S(u_1,v_1)=S(u_2,v_2)$ 的 $(u_1,v_1)\ne (u_2,v_2)$。ShapeFix_Face 或 IntTools 检测。自交面需修复（重建模或拆分）。

13.4.9 布尔切分

布尔求交产生新边（交线），新边把面切分为“在对方内/外/边界”片段。切分通过 mef（make edge face）加边加面实现。

13.4.10 面到点距离

$$d=\underset{(u,v)\in D}{\min }\left|S(u,v)-\mathbf{p}\right|$$

数值优化（牛顿）或采样。用于拾取、最近点。

13.5 数学理论与公式推导

13.5.1 面的几何表示

面 $F$ 关联曲面 $S:D\to {\mathbb{R}}^3$，$(u,v)\in D$。面是 $S(D)$。$D$ 由外环 $-$ 内环定义。

13.5.2 参数域与修剪

$$D=D_{\text{outer}}\setminus (D_{\text{inner1}}\cup D_{\text{inner2}}\cup \cdots )$$

$D_{\text{outer}}$ 外环内，$D_{\text{inner}}$ 内环内。面 $=S(D)$。

13.5.3 求值与求导

$S(u,v)$ 用 de Boor（NURBS）或解析。$\partial S/\partial u$、$\partial S/\partial v$ 一阶偏导。二阶偏导 ${\partial }^{2}S/\partial u^2$、${\partial }^{2}S/\partial u\partial v$、${\partial }^{2}S/\partial v^2$。

13.5.4 法向

$$\mathbf{n}(u,v)=\text{orientation}\times \frac{\partial S/\partial u\times \partial S/\partial v}{\left|\partial S/\partial u\times \partial S/\partial v\right|}$$

13.5.5 第一基本形式（度量）

$$E=\frac{\partial S}{\partial u}\cdot \frac{\partial S}{\partial u},F=\frac{\partial S}{\partial u}\cdot \frac{\partial S}{\partial v},G=\frac{\partial S}{\partial v}\cdot \frac{\partial S}{\partial v}$$

面积元素：

$$dA=\sqrt{EG-F^2}dudv$$

13.5.6 第二基本形式（曲率）

$$L=\mathbf{n}\cdot \frac{{\partial }^{2}S}{\partial u^2},M=\mathbf{n}\cdot \frac{{\partial }^{2}S}{\partial u\partial v},N=\mathbf{n}\cdot \frac{{\partial }^{2}S}{\partial v^2}$$

高斯曲率与平均曲率：

$$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2},H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}$$

主曲率：

$$k_1,k_2=H\pm \sqrt{H^2-K}$$

13.5.7 面面积

$$A={\iint }_D\sqrt{EG-F^2}dudv$$

数值积分（Gauss）在参数域 $D$ 上。

13.5.8 点在面内

$\mathbf{p}$ 在面 $F$ 内 $⟺$ $S^{-1}(\mathbf{p})\in D$。即参数 $(u,v)$ 在外环内且所有内环外。用绕数判定。

13.5.9 面到点距离

$$d=\underset{(u,v)\in D}{\min }\left|S(u,v)-\mathbf{p}\right|$$

牛顿迭代从采样初值优化。

13.5.10 p-curve

边 $e$ 曲线 $C(t)$，面 $F$ 曲面 $S(u,v)$。p-curve：

$$(u(t),v(t))=S^{-1}(C(t))$$

即 3D 曲线在参数域的像。

13.5.11 欧拉公式中的面

$F$ 是面数：

$$V-E+F-L=2(S-G)$$

加面（mef）使 $F+1$。

13.6 算法与数据结构详解

13.6.1 面数据结构

class Face(TShape):
surface: Geom_Surface # 曲面几何支撑
wires: List[TopoDS_Wire] # 外环 + 内环
tolerance: float

class TopoDS_Face(Shape):
tshape: Handle[Face]
location: Location
orientation: Orientation # FORWARD/REVERSED

13.6.2 创建面

function makeFace(surface, outerWire, innerWires=[]):
tf = Face(surface, [outerWire] + innerWires)
return TopoDS_Face(tshape=tf, orientation=FORWARD)

13.6.3 面上求值与法向

function faceValue(face, u, v):
surface = BRep_Tool.Surface(face)
return surface.value(u, v)

function faceNormal(face, u, v):
surface = BRep_Tool.Surface(face)
Su, Sv = surface.d1(u, v) # 偏导
n = Su.cross(Sv).normalize()
if face.orientation == REVERSED:
n = -n
return n

13.6.4 点在面内

function pointInFace(p, face):
surface = BRep_Tool.Surface(face)
(u, v) = surface.inverse(p) # 求逆
outerWire = face.outerWire
innerWires = face.wires[1:]
if not pointInWireParam((u,v), outerWire, surface):
return False # 不在外环内
for inner in innerWires:
if pointInWireParam((u,v), inner, surface):
return False # 在内环内（孔）
return True

13.6.5 面面积

function faceArea(face):
surface = BRep_Tool.Surface(face)
# 在参数域 D 上数值积分 √(EG-F²)
D = paramDomain(face) # 外环 – 内环
def integrand(u, v):
Su, Sv = surface.d1(u, v)
E = Su.dot(Su); F = Su.dot(Sv); G = Sv.dot(Sv)
return sqrt(E*G – F*F)
return gaussIntegrate(integrand, D)

13.6.6 面到点距离

function faceToPointDistance(face, p):
surface = BRep_Tool.Surface(face)
# 采样参数域找最近初值
(u0, v0) = sampleClosest(surface, p, face)
# 牛顿迭代优化 min |S(u,v) – p|
(u, v) = newtonMinimize(lambda u,v: (surface.value(u,v) – p).lengthSquared(), u0, v0)
return (surface.value(u, v) – p).length()

13.6.7 布尔切分面

function splitFace(face, interCurves):
# interCurves 是求交产生的交线
newEdges = [makeEdge(c) for c in interCurves]
# 用 mef 加边把面切分为片段
fragments = [face]
for e in newEdges:
newFragments = []
for f in fragments:
split = mef(f, e) # 加边分裂面
newFragments.extend(split)
fragments = newFragments
return fragments

13.7 主流软件实现对比

各实现都把面作曲面 + 环 + 容差 + 方向，差异在曲面类型与容差。

13.8 操作步骤教程

用 FreeCAD（OCCT）体验面。

步骤一：查看面

import Part
box = Part.makeBox(10,10,10)
for f in box.Faces:
print(f.Area, f.CenterOfMass, f.normalAt(0,0))
print("Surface:", f.Surface)
print("Wires:", len(f.Wires))

步骤二：查询曲面类型

f = box.Faces[0]
print(type(f.Surface)) # Geom_Plane
# 圆柱面
cyl = Part.makeCylinder(5, 10)
print(type(cyl.Faces[0].Surface)) # Geom_CylindricalSurface

步骤三：面上求值与法向

f = box.Faces[0]
# 在参数 (u,v) 求值
p = f.valueAt(0.5, 0.5) # 参数域中点
n = f.normalAt(0.5, 0.5) # 法向
print(p, n)

步骤四：点在面内

f = box.Faces[0]
p = Base.Vector(5, 5, 0) # 面上一点
print(f.isInside(p)) # True

步骤五：带孔面查看内环

# 在面上打孔后
f = holed.Faces[0]
print(len(f.Wires)) # 外环 + 内环

步骤六：面面积与曲率

f = cyl.Faces[0] # 圆柱面
print(f.Area) # 2πrh
# 曲率（圆柱面高斯曲率 0，主曲率 1/r, 0）

步骤七：体验修剪曲面

创建一个 NURBS 曲面，用环修剪，查看参数域 $D$。

13.9 应用场景与案例

13.9.1 散度定理的体积计算

设体 $V$ 边界为面集 $\{F_i\}$，则：

$$\text{Vol}(V)=\frac{1}{3}\sum _i{\iint }_{F_i}\mathbf{p}\cdot \mathbf{n}dA$$

其中 $\mathbf{p}$ 为面上点位置，$\mathbf{n}$ 为面法向。

13.10 常见问题与调优

13.11 发展趋势与展望

13.12 小结

面是 B-Rep 拓扑层次的二维实体，关联曲面（几何支撑）+ 外环 + 内环 + 方向 + 容差。面参数域 $D$ 由外环 $-$ 内环定义，面是 $S(D)$。面法向由 orientation 与曲面自然法向决定。面支持求值、求导、曲率、面积、点分类。面在布尔中被切分，在渲染、网格化、质量计算、工程图中核心。面带容差用于贴合判定，p-curve 支持面上操作。面自交、退化、错向需 ShapeFix 修复。各内核都把面作曲面 + 环 + 容差，差异在曲面类型与容差。理解面是理解 B-Rep 几何表达的核心，为第 14 章壳与体铺垫。

13.12.1 关键公式速查

13.13 延伸阅读

参考文献

[1] Open CASCADE Technology Documentation: TopoDS_Face, BRep_Tool, BRepAdaptor_Surface, Geom_Surface, OCCT 8.0, 2024.
[2] Piegl L, Tiller W. The NURBS Book[M]. 2nd ed. Springer, 1997.
[3] do Carmo M P. Differential Geometry of Curves and Surfaces[M]. Prentice-Hall, 1976.
[4] Requicha A A G. Representations for Rigid Solids: Theory, Methods, and Systems[J]. ACM Computing Surveys, 1980, 12(4): 437-464.
[5] Mäntylä M. An Introduction to Solid Modeling[M]. Computer Science Press, 1988.（B-Rep 拓扑层次）