几何内核研究（四）- 习题

摘要： 本章围绕 NURBS 曲线曲面的核心概念与算法展开，共 19 道习题。内容涵盖：NURBS 的定义与四个关键特性（统一性、局部性、仿射不变性、凸包性）；Cox-de Boor 递推公式与 B 样条基函数求值；de Boor 求值算法及其与 de Casteljau 算法的关系；节点重复度与曲线连续性（$C^{p-k}$）的关系；权值对曲线形状的影响及 NURBS 精确表示圆锥曲线的数学原理；张量积曲面的分离求值效率；NURBS 曲线求导（商法则）与 Boehm 节点插入算法；弦长参数化、完整圆所需控制点数、NURBS 作为工业标准的原因，以及曲率连续在 A 级曲面设计中的重要性。

第4章 NURBS曲线曲面 — 习题与答案

练习

习题 4.1

NURBS 的全称是什么？解释“非均匀”（Non-Uniform）、“有理”（Rational）和“B 样条”三个词分别代表什么含义？

答案：

NURBS 全称是 Non-Uniform Rational B-Spline（非均匀有理 B 样条）。

• 非均匀（Non-Uniform）： 节点向量中的节点间距可以不等距，允许在曲线不同区域有不同的“张力”或精细度。均匀节点向量产生均匀 B 样条，非均匀节点向量允许在不改变控制点数量的情况下细化局部形状。
• 有理（Rational）： 基函数是多项式分式（有理函数）而非单纯的多项式。这使得 NURBS 可以精确表示圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线），而纯多项式 B 样条只能近似。
• B 样条（B-Spline）： 使用 B 样条基函数，具有局部支撑、单位分解等优良性质，提供了比 Bezier 曲线更好的局部控制能力。

习题 4.2

请说出 NURBS 的四个关键特性，并简要解释每个特性的含义。

答案：

习题 4.3

写出 Cox-de Boor 递推公式的完整表达式，包括 p=0 时的基础情况和 p>0 时的递推关系。

答案：

$p=0$ 时：

$N_{i,0}(u)=1$，如果 $u_i\le u<u_{i+1}$；否则 $N_{i,0}(u)=0$

$p>0$ 时：

$$N_{i,p}(u)=(u-u_i)/(u_{i+p}-u_i)N_{i,p-1}(u)+(u_{i+p+1}-u)/(u_{i+p+1}-u_{i+1})N_{i+1,p-1}(u)$$

其中当分母为 0 时，约定该项为 0（即 0/0 视为 0）。

习题 4.4

给定节点向量 $U=\{0,0,0,1,2,3,3,3\}$，$p=2$（二次 B 样条），计算 $N_{1,2}(1.5)$ 的值。

答案：

$U=\{0,0,0,1,2,3,3,3\}$，共 8 个元素，$m=7$，$n=m-p-1=7-2-1=4$，$i=\mathrm{0..4}$。

先计算 0 次基函数在 $u=1.5$ 处的值：

$$N_{0,0}(1.5)=0,N_{1,0}(1.5)=0,N_{2,0}(1.5)=0(1.5\notin [0,1)),N_{3,0}(1.5)=1(1.5\in [1,2)),N_{4,0}(1.5)=0,N_{5,0}(1.5)=0,N_{6,0}(1.5)=0$$

1 次基函数：

$$N_{2,1}(1.5)=(1.5-0)/(1-0)N_{2,0}(1.5)+(2-1.5)/(2-1)N_{3,0}(1.5)=0+0.5\times 1=0.5$$$$N_{3,1}(1.5)=(1.5-1)/(2-1)N_{3,0}(1.5)+(3-1.5)/(3-2)N_{4,0}(1.5)=0.5\times 1+0=0.5$$

2次基函数：

$$N_{1,2}(1.5)=(1.5-0)/(1-0)N_{1,1}(1.5)+(3-1.5)/(3-1)N_{2,1}(1.5)$$$$N_{1,1}(1.5)=(1.5-0)/(1-0)N_{1,0}(1.5)+(2-1.5)/(2-1)N_{2,0}(1.5)=0+0.5\times 0=0$$

所以$ N_{1,2}(1.5) = 0 + (1.5)/(2)×0.5 = 0.75×0.5 = 0.375$

习题 4.5

对于 3 次 B-Spline 基函数，当节点重复度分别为1、2、3、4时，曲线在该节点处的连续性各是多少？

答案：

对于 p=3，连续性为 $C^{p-k}$，其中 k 为节点重复度。

• 重复度 1（简单节点）：$C^2$ 连续（曲率连续）——A 级曲面设计的最低要求
• 重复度 2：$C^1$ 连续（切线连续，但二阶导数不连续）
• 重复度 3：$C^0$ 连续（位置连续，切线方向可能突变，形成尖角）
• 重复度4：不连续（曲线在该点断开）

习题 4.6

什么是 de Boor 算法？它与 de Casteljau 算法有什么联系？

答案：

de Boor 算法是 B 样条曲线求值的标准算法，通过递归线性插值直接在控制点上操作，计算复杂度为 $O(p^2)$，与 n 无关。de Boor 算法是 de Casteljau 算法的推广。de Casteljau 算法只适用于 Bezier 曲线（即节点向量为 {p+1 个重复起点, p+1 个重复终点} 的特殊 B 样条）。当 B 样条曲线的节点向量形式为 $\{0,\dots ,0,1,\dots ,1\}$（两端各 p+1 个重复节点）时，de Boor 算法退化为 de Casteljau 算法。

练习

习题 4.7

使用 de Boor 算法，计算二次 B 样条曲线在 u=1.5 处的值。节点向量 $U=\{0,0,0,1,2,3,3,3\}$，控制点 $P_0=(0,0),P_1=(1,0),P_2=(2,1),P_3=(3,0),P_4=(4,0)$。

答案：

$U=\{0,0,0,1,2,3,3,3\}$，$m=7$，$p=2$，$n=m-p-1=4$，控制点 $P_0\sim P_4$。

$u=1.5\in [1,2)$，所以 $k=3$（$u_3=1,u_4=2$）。

需要 $P_{k-p}=P_1$ 到 $P_k=P_3$。

$r=1:i=k-p+r=3-2+1=2,\dots ,k=3$

${\alpha }_{2,1}=(1.5-u_2)/(u_4-u_2)=(1.5-0)/(2-0)=0.75$

${\alpha }_{3,1}=(1.5-u_3)/(u_5-u_3)=(1.5-1)/(3-1)=0.25$

$P_2^{(1)}=(1-0.75)P_1+0.75P_2=0.25\times (1,0)+0.75\times (2,1)=(1.75,0.75)$

$P_3^{(1)}=(1-0.25)P_2+0.25P_3=0.75\times (2,1)+0.25\times (3,0)=(2.25,0.75)$

$r=2:i=k-p+r=3-2+2=3,\dots ,k=3$，只有$i=3$

${\alpha }_{3,2}=(1.5-u_3)/(u_4-u_3)=(1.5-1)/(2-1)=0.5$

$P_3^{(2)}=(1-0.5)P_2^{(1)}+0.5P_3^{(1)}=0.5\times (1.75,0.75)+0.5\times (2.25,0.75)=(2.0,0.75)$

所以 $C(1.5)=(2.0,0.75)$

习题 4.8

解释 de Boor 算法相对于直接计算基函数然后求和的优势是什么？

答案：

直接计算基函数需要先递推计算所有 p 次基函数，每个基函数又需要递归计算低次基函数，计算复杂度为 $O(n\times p)$。de Boor 算法通过递归线性插值直接在控制点上操作，计算复杂度为 $O(p^2)$，与 n 无关。在实际应用中，p 通常为 3（固定很小），而 n 可能很大（数百个控制点），de Boor 算法的常数时间和数值稳定性优势非常明显。此外，de Boor 算法不需要显式计算基函数，避免了大量浮点除法和条件判断。

习题 4.9

假设一个 NURBS 曲线有 4 个控制点且所有权值均为 1，它是什么曲线？如果将其中一个权值从 1 变为 10，曲线形状如何变化？

答案：

所有权值为 1 时，NURBS 退化为普通的 B 样条曲线。将其中一个权值从 1 变为 10，该控制点对曲线的吸引力增强，曲线被拉向该控制点。在极限情况下，如果权值趋于无穷大，曲线将通过该控制点。这种“拉力”效应是局部的——只有该控制点影响的曲线段（即节点区间 $[u_i,u_{i+p+1})$ 内的部分）会发生变化，其他部分保持不变。

习题 4.10

为什么 NURBS 可以精确表示圆而 B 样条不能？从数学角度解释权值在精确表示圆锥曲线中的作用。

答案：

圆的参数方程是超越函数（三角函数），无法用多项式精确表示。B 样条曲线的基函数是多项式，因此 B 样条曲线本质上是分段多项式曲线，只能近似圆。NURBS 引入有理分式后，可以用两个多项式之比来表示圆。具体来说，令 $w=cos(\theta /2)$ 作为中间控制点的权值，通过有理基函数可以构造出形如 $(1-t^2)/(1+t^2),2t/(1+t^2)$ 的参数化，这正是单位圆的有理参数化（Weierstrass 代换）。因此，NURBS 通过有理分式结构克服了多项式表示的局限性，实现了圆锥曲线的精确表示。

习题 4.11

给定一个 NURBS 曲面，u方向次数p=3，v方向次数q=2，控制点网格为6×5，求u方向节点数和v方向节点数各为多少？

答案：

u方向：n=5（控制点数为6，索引0…5），p=3，节点数 = n+p+1 = 5+3+1 = 9。

v方向：m=4（控制点数为5，索引0…4），q=2，节点数 = m+q+1 = 4+2+1 = 7。

所以u方向有9个节点向量元素，v方向有7个节点向量元素。

习题 4.12

解释张量积曲面的分离求值原理，并说明其计算效率优势。

答案：

分离求值原理：$S(u,v)={\sum }_i{R}_{i,p}(u)({\sum }_j{R}_{j,q}(v)P_{i,j})$。先对每个 i 计算 $${\sum }_j{R}_{j,q}(v)P_{i,j}$ 得到中间点 $Q_i(v)$，再计算 ${\sum }_i{R}_{i,p}(u)Q_i(v)$。

计算效率优势：直接二维求值的复杂度为 $O(n\times m)$，而分离求值法将二维问题转化为两个一维问题，复杂度降低到 $O(n+m)$。对于 n=m=100 的曲面，直接求值需要 10000 次基函数计算，而分离求值只需要 200 次，效率提升 50 倍。

练习

习题 4.13

推导 NURBS 曲线的一阶导数公式，说明为什么需要用到商法则。给定 NURBS 曲线，其权值函数 w(u) = u + 1，加权曲线 A(u) = (u², u)，求 C(u) 在 u=0 处的一阶导数。

答案：

NURBS 曲线 $C(u)=A(u)/w(u)$ 是两个函数之比，因此求导需要使用商法则：

$$C^{\prime }(u)=(A^{\prime }(u)w(u)-w^{\prime }(u)A(u))/w(u{)}^2=(A^{\prime }(u)-w^{\prime }(u)C(u))/w(u)$$

其中 $A^{\prime }(u)=\sum N_{i,p}^{\prime }(u)w_i{P}_i$，$w^{\prime }(u)=\sum N_{i,p}^{\prime }(u)w_i$。

具体计算： $C(u)=A(u)/w(u)=(u^2/(u+1),u/(u+1))$

$A^{\prime }(u)=(2u,1)，w^{\prime }(u)=1$

在 u=0 处：$C(0)=(0,0)$，$A^{\prime }(0)=(0,1)$，$w^{\prime }(0)=1$，$w(0)=1$

所以 $C^{\prime }(0)=(A^{\prime }(0)-w^{\prime }(0)C(0))/w(0)=((0,1)-1\times (0,0))/1=(0,1)$

习题 4.14

给定一个 3 次 B-Spline 曲线，节点向量 $U=\{0,0,0,0,1,2,3,3,3,3\}$，控制点 $P_0=(0,0),P_1=(1,1),P_2=(2,0),P_3=(3,1),P_4=(4,0),P_5=(5,1)$。在 u=1.5 处插入一个节点，使用 Boehm 算法计算新控制点。

答案：

$p=3，U=\{0,0,0,0,1,2,3,3,3,3\}，u_4=1,u_5=2，k=4$。

受影响控制点：$i=k-p+1=4-3+1=2$ 到 k = 4，即 $P_2,P_3,P_4$。

计算 ${\alpha }_i=(\epsilon -u_i)/(u_{i+p}-u_i)$：

$${\alpha }_2=(1.5-u_2)/(u_5-u_2)=(1.5-0)/(2-0)=0.75$$$${\alpha }_3=(1.5-u_3)/(u_6-u_3)=(1.5-1)/(3-1)=0.25$$$${\alpha }_4=(1.5-u_4)/(u_7-u_4)=(1.5-1)/(3-1)=0.25$$

新控制点：

$$Q_2=(1-0.75)P_1+0.75P_2=0.25\times (1,1)+0.75\times (2,0)=(1.75,0.25)$$$$Q_3=(1-0.25)P_2+0.25P_3=0.75\times (2,0)+0.25\times (3,1)=(2.25,0.25)$$$$Q_4=(1-0.25)P_3+0.25P_4=0.75\times (3,1)+0.25\times (4,0)=(3.25,0.75)$$

新控制点序列：$P_0,P_1,Q_2,Q_3,Q_4,P_5$

即 $(0,0),(1,1),(1.75,0.25),(2.25,0.25),(3.25,0.75),(5,1)$

习题 4.15

弦长参数化（Chord Length Parameterization）的公式是什么？为什么它比均匀参数化更适合于实际数据拟合？

答案：

弦长参数化公式：

$$u_0=0$$$$u_k=u_{k-1}+|Q_k-Q_{k-1}|/D$$

其中 $D=\sum |Q_j-Q_{j-1}|$ 是总弦长（所有相邻数据点间距离之和）。最终所有$u_k\in [0,1]$。

均匀参数化将参数等间距分配，当数据点分布不均匀时，会导致曲线在稀疏区域过度振荡，在密集区域拉伸不足。弦长参数化反映了数据点的几何分布——相邻点距离越远，参数跨度越大，这样曲线可以更自然地跟随数据点的分布，产生更接近真实形状的曲线。弦长参数化是逆向工程中最常用的参数化方法。

习题 4.16

为什么完整的 NURBS 圆需要 7 个控制点而不是 4 个？如果只用4个控制点，能否得到精确的圆？

答案：

完整的圆至少需要 4 个 1/4 圆弧段拼接而成，每个段需要 3 个控制点，相邻段共享一个控制点，因此总共需要 4×3 – 4 – 1 = 7 个控制点（4 个段各 3 个控制点，减去 4 个共享点，首尾不重合所以需要额外 1 个）。如果用 4 个控制点（即 1 个 Bezier 段），只能得到一个圆弧，无法覆盖整个圆，因为 3 次 Bezier 曲线至多表示一个角度小于 180 度的圆弧（实际上 3 次 Bezier 最多精确表示一个 90 度的圆弧）。所以精确表示完整圆至少需要 7 个控制点。

练习

习题 4.17

为什么 CAD 系统选择 NURBS 而不是单纯的 Bezier 曲线作为工业标准？如果全部使用 Bezier 曲线会有什么问题？

答案：

Bezier 曲线有两个主要问题：(1) 控制点数量决定了曲线的次数（n 个控制点对应 n-1 次曲线），复杂形状需要高次曲线，高次多项式在数值计算上不稳定，容易出现振荡（Runge 现象）；(2) Bezier 曲线没有局部控制能力——移动一个控制点会影响整条曲线，不便于交互式形状设计。

NURBS 通过节点向量将曲线分段为低次多项式（通常为 3 次），每段只受少数几个控制点影响，既保证了局部控制又避免了高次不稳定。此外，NURBS 可以精确表示圆锥曲线而 Bezier 不能。如果全部使用 Bezier 曲线，CAD 系统将面临以下问题：需要大量高次曲线、形状编辑困难、无法精确表示圆/椭圆等基本形状、数据存储量大（因为需要将复杂曲线分割成大量 Bezier 段）。因此 NURBS 成为工业标准。

习题 4.18

张量积曲面结构的局限性是什么？在什么情况下需要更一般的曲面表示方法（如细分曲面）？

答案：

张量积曲面的主要局限性是要求控制点必须是矩形拓扑网格，不能处理任意拓扑结构（如星形连接点、多于或少于 4 条边的面片）。对于需要处理任意拓扑的复杂模型（如角色动画模型、有机形状），张量积 NURBS 需要切割成多个面片并拼接，导致接缝处连续性处理复杂。

细分曲面（如 Catmull-Clark 细分）可以处理任意拓扑网格，不需要拼接多个面片，因此在动画和游戏领域更受欢迎。但在 CAD/CAM 领域，由于 NURBS 具有精确参数化和标准化优势，仍然占据主导地位。近年来，T 样条（T-spline）等新兴技术试图结合 NURBS 的精确参数化和细分曲面的任意拓扑处理能力，是 CAD 领域的重要研究方向。

习题 4.19

在 CAD 系统中，为什么需要计算曲率？曲率连续（C^{2} 连续）在 A 级曲面设计中为什么重要？

答案：

曲率直接反映了曲线的弯曲程度，在 CAD 中有以下重要用途：

• 评估曲面光顺性（曲率梳状图是常用的光顺性检查工具）
• 计算曲面的反射特性（用于A级曲面评审）
• 数控加工中的刀具路径规划（曲率影响刀具半径选择）
• 曲面拼接时的连续性判定（$C^2$连续要求曲率连续）
  在 A 级曲面（如汽车外覆盖件）设计中，$C^2$ 连续是基本要求，因为：(1) 曲率不连续会在光照反射中产生可见的条纹或折痕（用户可以肉眼观察到）；(2) 在后续加工中，曲率不连续会导致刀具路径突变，影响加工质量；(3) 在流体动力学分析中，曲率不连续会产生非物理的流动分离。更高要求甚至要求曲率变化率连续（$C^3$ 连续），用于飞机机身等对气动性能要求极高的场景。