QPSK盲信噪比估计｜二阶矩M2M4算法原理与Matlab仿真

QPSK盲信噪比估计｜二阶矩M2M4算法原理与Matlab仿真

摘要

在全数字QPSK接收机中，$E_s/N_0$信噪比是链路质量评估、环路参数自适应调整、解调性能分析的核心指标。传统信噪比估计依赖导频或训练序列，存在带宽开销。本文详细讲解二阶/四阶矩（M2M4）盲信噪比估计算法，仅利用同步后的QPSK业务数据符号，无需任何导频辅助，通过信号统计矩分离信号能量与噪声能量，实现纯盲估计。本文完整推导数学公式、分析算法特性、给出可直接运行的Matlab仿真代码，并嵌入已有QPSK接收机链路，适合工程实现与毕业设计落地。

一、前言

在前面系列文章中，我们已经完整搭建了一套全数字QPSK通信接收机：

成型滤波 & 匹配滤波 → 平方律FFT定时同步 → Farrow插值定时恢复 → 4次方FFT开环频偏估计 → Costas闭环载波同步 → 导频相位模糊校正。

整套链路已经可以稳定完成解调。但一个完整接收机还需要实时信道质量监测，也就是信噪比估计。

本文讲解盲信噪比估计算法：

不依赖导频、不依赖已知信息、仅通过接收数据的统计特性估计Es/N0。

针对QPSK恒模调制，最经典、最简单、最适合嵌入式/FPGA实现的就是：M2M4二阶四阶矩盲估计算法。

二、信号模型

经过定时同步、载波同步、相位校正后，接收符号已经完全对齐，仅残留高斯白噪声（其实定时后就可以估计了，不用非等到相位校准后）：

$$r(k)=s(k)+n(k)$$

其中：

• $s(k)$：标准QPSK复符号，恒模能量 $$|s(k){|}^2=E_s$$
• $n(k)$：复高斯白噪声，零均值、方差 $${\sigma }_n^2$$
• 噪声功率谱密度：$$N_0={\sigma }_n^2$$

我们需要估计的物理量：

$$\frac{E_s}{N_0}=\frac{\text{符号能量}}{\text{噪声单边功率谱密度}}$$

三、M2M4盲估计核心原理

盲估计的核心思想：QPSK信号和高斯噪声的高阶统计特性完全不同，可以通过二阶矩、四阶矩分离信号与噪声。

1. 定义二阶矩 M2

二阶矩为接收信号模平方的统计均值：

$$M_2=\mathbb{E}\left[|r(k){|}^2\right]=\mathbb{E}\left[|s(k)+n(k){|}^2\right]$$

展开得：

$$\begin{array}{rl}|s+n{|}^2& =(s+n)(s+n{)}^{\ast }\\ & =(s+n)(s^{\ast }+n^{\ast })\\ & =|s{|}^2+|n{|}^2+s{n}^{\ast }+n{s}^{\ast }\end{array}$$

取期望：

$$M_2=\mathbb{E}\left[|s{|}^2\right]+\mathbb{E}\left[|n{|}^2\right]+\mathbb{E}\left[s{n}^{\ast }\right]+\mathbb{E}\left[n{s}^{\ast }\right]$$

由于信号与噪声相互独立，且信号、噪声均为零均值：

$$\mathbb{E}\left[s{n}^{\ast }\right]=\mathbb{E}[s]\mathbb{E}[n^{\ast }]=0,\mathbb{E}\left[n{s}^{\ast }\right]=\mathbb{E}[n]\mathbb{E}[s^{\ast }]=0$$

交叉期望项全部归零，因此：

$$M_2=E_s+{\sigma }_n^2$$

物理意义：接收总功率 = 信号功率 + 噪声功率

2. 定义四阶矩 M4

四阶矩为接收信号模四次方的统计均值：

$$M_4=\mathbb{E}\left[|r(k){|}^4\right]$$

其中 $$|s+n{|}^4=(|s+n{|}^2{)}^2$$

开始展开：

记：
$$A=|s{|}^2=E_s,B=|n{|}^2,C=s{n}^{\ast }+s^{\ast }n$$，
则 $$|s+n{|}^2=A+B+C$$

$$\begin{array}{rl}|s+n{|}^4& =(A+B+C{)}^2\\ & =A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC\end{array}$$

$$M_4=\mathbb{E}[A^2]+\mathbb{E}[B^2]+\mathbb{E}[C^2]+2\mathbb{E}[AB]+2\mathbb{E}[AC]+2\mathbb{E}[BC]$$

逐项计算：

• $$\mathbb{E}[A^2]=\mathbb{E}[E_s^2]=E_s^2$$
• $$\mathbb{E}[B^2]=\mathbb{E}\left[|n{|}^4\right]=2{\sigma }_n^4$$（复高斯噪声四阶矩性质）
• $$2\mathbb{E}[AB]=2\mathbb{E}\left[E_s|n{|}^2\right]=2E_s{\sigma }_n^2$$
• $$C^2=(s{n}^{\ast }+s^{\ast }n{)}^2=s^2(n^{\ast }{)}^2+2|s{|}^2|n{|}^2+(s^{\ast }{)}^2{n}^2$$QPSK符号$$\mathbb{E}[s^2]=0$$因此$$\mathbb{E}[C^2]=2E_s{\sigma }_n^2$$
• $$2\mathbb{E}[AC]=0,2\mathbb{E}[BC]=0$$由零均值独立随机变量性质，交叉期望为0。

全部合并得到四阶矩正确表达式：

$$M_4=E_s^2+4E_s{\sigma }_n^2+2{\sigma }_n^4$$

3. 联立方程求解信号、噪声能量

方程组：

$$\{\begin{array}{l}{M}_2=E_s+{\sigma }_n^2\\ M_4=E_s^2+4E_s{\sigma }_n^2+2{\sigma }_n^4\end{array}$$

利用 $$M_2^2=(E_s+{\sigma }_n^2{)}^2=E_s^2+2E_s{\sigma }_n^2+{\sigma }_n^4$$

构造：

$$\begin{array}{rl}2M_2^2-M_4& =2(E_s+{\sigma }_n^2{)}^2-(E_s^2+4E_s{\sigma }_n^2+2{\sigma }_n^4)\\ & =2(E_s^2+2E_s{\sigma }_n^2+{\sigma }_n^4)-E_s^2-4E_s{\sigma }_n^2-2{\sigma }_n^4\\ & =E_s^2\end{array}$$

于是得到信号能量闭式解：

$${\hat{E}}_s=\sqrt{2M_2^2-M_4}$$

噪声能量：

$${\hat{\sigma }}_n^2=M_2-{\hat{E}}_s$$

四、工程离散实现方式

实际接收机中，使用有限符号长度做样本平均代替数学期望：

$${\hat{M}}_2=\frac{1}{L}\sum _{k=1}^L|r_k{|}^2$$

$${\hat{M}}_4=\frac{1}{L}\sum _{k=1}^L|r_k{|}^4$$

带入上述公式即可实时计算当前帧 $$E_s/N_0$$

五、完整Matlab仿真代码

function [EsN0_dB] = SNR_M2M4(rx_sym)
L = 1000;

% 计算二阶矩、四阶矩
M2 = mean(abs(rx_sym).^2);
M4 = mean(abs(rx_sym).^4);

% 求解信号能量
Es_sq = 2*M2^2 – M4;

if Es_sq > 0
Es_hat = sqrt(Es_sq);
Noise_hat = M2 – Es_hat;
if Noise_hat > 0
EsN0 = Es_hat / Noise_hat;
EsN0_dB = 10*log10(EsN0);
else
EsN0_dB = nan;
end
else
EsN0_dB = nan;
end
end

六、仿真结果

结果可以看出估计出的信噪比与真实加噪信号的信噪比基本一直，误差较小。