《从动笔开始：高中数学必修第一册》——1.3 集合的基本运算

1.3 集合的基本运算

适用：综合高中学生（基础20‑40分）
建议课时：2课时（每节40分钟）
栏目说明：【教师备课札记】仅教师内部阅读，印刷给学生时删除此块。
编写说明：立足人教A版课本，全部删除含参数综合题；只训练数字集合、简单数轴数集；强化模板、反例、辨析。

★课前筑基（课前5分钟小测，复习1.1、1.2必备基础）

使用方式：上课发小练习，学生独立完成，当堂批改订正。

【教师备课札记】

教材编写意图：人教A版1.3，理解并集、交集、补集概念；看懂Venn图；会做有限集合交并运算；会利用数轴处理数集交、并；理解全集含义；掌握补集运算。课本实例兼顾有限集合、实数数集。

学情短板【深化拆解】

删减内容：含参数集合运算、复杂多步综合大题、课本拓广探索、集合元素个数公式；仅极少数拔尖学生课后自主了解，全体课堂不讲授。

课时拆分建议（每节40分钟，包含课前小测）：

• 第1课时：5min课前筑基；交集（定义+Venn图+有限集合例题+反例）；并集（定义+Venn图+有限集合例题+反例）；区分“且/或”；有限集合对点训练；简单引入数轴题型。
• 第2课时：5min复习回顾；全集（重点强调全集可变）；补集定义+Venn图+两类题型（有限集合、数轴数集）；完整解题模板；综合对点练+订正。

课后作业：课本第14页习题1.3 复习巩固第1、2题。

【学生用书·正文】

前置提醒：两类集合运算题型，解题方法不一样

📌题型1：有限列举集合：例如$A=\{1,2,3\}$，把元素一个个写出来。解题：直接对比元素，找公共、找全部元素。
📌题型2：实数数集（描述法不等式）：例如$A=\{x\mid -1<x<2\}$。解题：必须画数轴，禁止心算。

一、交集 $\cap$

一般地，由所有既属于集合$A$，又属于集合$B$的元素组成的集合，称为集合$A$与$B$的交集。
记作：$\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$，读作“$A$交$B$”
$$A\cap B=\{x\mid x\in A，\mathbf{且}x\in B\}$$

✅大白话口诀：交集 = 找两个集合公共、重叠的元素，必须同时两边都要有。
✅Venn图理解：两个圆圈互相重叠的那一小块区域，才是交集。

✨题型1：有限列举集合求交集

例：$A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{3,4,5,6\}$
公共元素：$3、4$，$A\cap B=\{3,4\}$

❌反例（易错错题展示）
$A=\{1,2,3\}$，$B=\{4,5,6\}$，两个集合没有公共元素。
✅正确结果：$A\cap B=\varnothing$
❌错误做法：空白不写、写$\{0\}$。

📌交集核心性质，逐条理解记忆

✨题型2：实数数集（不等式）求交集，数轴操作细化步骤

操作固定4步，做题严格照做：
步骤1：画数轴；
步骤2：分别画出集合$A$、集合$B$对应的范围；取不到的端点空心$\circ$，可以取到端点实心$\bullet$；
步骤3：找两个范围互相重叠的部分；
步骤4：把重叠部分写成集合形式。

例：$A=\{x\mid -1<x<2\}$，$B=\{x\mid 1<x<3\}$
重叠区间：$1<x<2$
$$A\cap B=\{x\mid 1<x<2\}$$

⚠️特别提醒：没有重叠，交集直接写$\varnothing$，不能空着不写。

二、并集 $\cup$

由所有属于集合$A$，或者属于集合$B$的元素组成的集合，称为集合$A$与$B$的并集。
记作：$\mathbf{A}\cup \mathbf{B}$，读作“$A$并$B$”
$$A\cup B=\{x\mid x\in A，\mathbf{或}x\in B\}$$

✅大白话口诀：并集 = 把两个集合全部元素合并到一块；重复出现的元素，只写1次（遵守互异性）。
✅Venn图理解：两个圆圈合在一起的全部面积。

💡重点理解文字“或”：三种情况满足任意一种即可
①元素只在$A$里面；②元素只在$B$里面；③元素同时在$A、B$里面。三种全部属于并集。

✨题型1：有限列举集合求并集

例：$A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{3,4,5,6\}$
全部元素：$1,2,3,4,5,6$；$3、4$重复，只写一遍。
$$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$$

❌反例（高频错误）
❌错误写法：$\{1,2,3,4,3,4,5,6\}$，重复元素不能重复抄写。

📌并集核心性质

✨题型2：实数数集求并集，数轴操作细化4步

步骤1：画数轴；
步骤2：画出$A、B$两个范围，分清空心、实心；
步骤3：找两个集合覆盖到的全部区域，不管重不重叠；
步骤4：把全部覆盖区域写成集合。

例：$A=\{x\mid -1<x<2\}$，$B=\{x\mid 1<x<3\}$
全部覆盖：$-1<x<3$
$$A\cup B=\{x\mid -1<x<3\}$$

⚠️超级重点辨析：“且”和“或”【深化，考试极易混淆】

💡记忆符号小技巧
$\cap$：开口向下，像两道墙挤在一起，代表相交、找公共；
$\cup$：开口向上，像杯子，把两边东西全部装进来，代表合并。

❌典型错题辨析
题目：$A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}$，$A\cap B$
错解：$\{1,2,3,4\}$（错，把交集做成并集）
正解：$\{2,3\}$

三、全集与补集

1. 全集$\mathbf{U}$

一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么这个集合就称为全集$U$。

✅【深化关键点】全集不是固定等于实数集R！每一道题目全集可以不一样，题目怎么写，全集就怎么来。同一集合，全集改变，补集结果完全改变！

举个对比例子，体会全集变化带来的区别：
例①：$U=\{1,2,3,4,5\}$，$A=\{1,2\}$，${\complement }_{U}A=\{3,4,5\}$
例②：$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，$A=\{1,2\}$，${\complement }_{U}A=\{3,4,5,6,7,8\}$

同样集合$A=\{1,2\}$，全集不一样，补集完全不一样！做题第一件事圈出题目给的全集$U$。

2. 补集 ${\complement }_{\mathbf{U}}\mathbf{A}$

对于集合$A$，由全集$U$中所有不属于$A$的元素构成的集合，叫做集合$A$相对于全集$U$的补集。
$${\complement }_{U}A=\{x\mid x\in U，且x\notin A\}$$

✅大白话：在全集这个大筐里面，把属于$A$的东西全部拿出去，筐子里剩下的元素就是补集。
✅Venn图理解：方框代表全集$U$，内部圆圈是集合$A$，圆圈外面方框内部的区域就是${\complement }_{U}A$。

📌补集两条必背性质

✨题型1：有限列举集合求补集【强制模板3步】

步骤1：完整抄写、写出全集$U$里面的全部元素（绝对不能跳过这一步）；
步骤2：从全集里面，删掉属于集合$A$的元素；
步骤3：剩下元素写成集合。

课本例题改编：已知全集$U=\{x\mid x是小于9的正整数\}$，$A=\{1,2,3\}$
解：
①写出全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
②删掉$1,2,3$，剩余$4,5,6,7,8$
$${\complement }_{U}A=\{4,5,6,7,8\}$$

❌高频错误：不写全集，直接写结果。

✨题型2：实数数集求补集（数轴模板4步）

步骤1：确定本题全集$U$；题目没有特殊说明实数题目全集一般为$\mathbf{R}$；
步骤2：画数轴，画出集合$A$范围，分清空心实心；
步骤3：在全集范围之内，去掉$A$对应的区间；
步骤4：把剩下区间写成集合。

示例：全集$U=\mathbf{R}$，$A=\{x\mid x\ge 2\}$
补集：${\complement }_{U}A=\{x\mid x<2\}$

四、课本例题拆解（增加对错对照，深化辨析）

例1（有限集合交并）

设 $A=\{4,5,6,8\}$，$B=\{3,5,7,8\}$，求$A\cap B$，$A\cup B$。
【解】
公共元素：$5，8$
$$A\cap B=\{5,8\}$$
全部元素合并，重复只写一次：
$$A\cup B=\{3,4,5,6,7,8\}$$

❌错例展示：$A\cup B=\{4,5,6,8,3,5,7,8\}$，重复5、8，错误。

例2（数轴数集运算）

设集合 $A=\{x\mid -1<x<2\}$，集合 $B=\{x\mid 1<x<3\}$，求$A\cap B$，$A\cup B$。
【解】画数轴观察
交集（重叠部分）：
$$A\cap B=\{x\mid 1<x<2\}$$
并集（全部覆盖）：
$$A\cup B=\{x\mid -1<x<3\}$$

例3（补集）

已知全集$U=\{x\mid x是小于9的正整数\}$，$A=\{1,2,3\}$，求${\complement }_{U}A$。
【解】
第一步写出全集：$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
第二步去掉$1,2,3$，得到：
$${\complement }_{U}A=\{4,5,6,7,8\}$$

五、高频易错预警【增加错误案例，深化细化】

六、课堂对点练（当堂完成，分层设置，基础+辨析小题）

第1题【有限集合基础】 已知$A=\{2,3,4,5,6\}$，$B=\{4,5,6,7,8\}$
求 $A\cap B=$；$A\cup B=$。

第2题【有限集合辨析，交集为空集】 $A=\{1,3,5\}$，$B=\{2,4,6\}$，求$A\cap B=$________。

第3题【数集数轴】 $A=\{x\mid 0<x\le 4\}$，$B=\{x\mid 2<x\le 6\}$
求 $A\cap B=$；$A\cup B=$。

第4题【补集，全集训练】
全集$U=\{1,2,3,4,5,6,7\}$，$A=\{2,4,5\}$，求${\complement }_{U}A$。

使用方式：课堂12‑15分钟独立完成；2、3、4题要求写出关键步骤；数集题目画简易数轴；教师巡视，抽学生板书，当场订正。

【课堂对点练·参考答案】

七、课堂小结（填空，笔记本完成）

【教师备课札记】（不印发给学生）

本节课容易出现的课堂问题及预案

课时切分

板书设计

第1课时板书：

第2课时板书：

备用铺垫小题（教师内部，不打印）

本章取舍总表片段（1.3）

📒课后教学复盘记录（上完课教师手写，不印刷）

课后作业布置

课本第14页习题1.3 复习巩固：

• 第1题、第2题
  要求：有限集合运算写出元素对比过程；数集运算必须画简易数轴；补集题目第一步抄写全集$U$。