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数论：质数、最大公约数、菲蜀定理
P8699 [蓝桥杯 2019 国 B] 排列数
题目描述
在一个排列中，一个折点是指排列中的一个元素，它同时小于两边的元素，或者同时大于两边的元素。 对于一个
1
∼
n
1 ∼ n
1∼n 的排列，如果可以将这个排列中包含
t
t
t 个折点，则它称为一个
t
+
1
t + 1
t+1 单调排列。 例如，排列
(
1
,
4
,
2
,
3
)
(1, 4, 2, 3)
(1,4,2,3) 是一个
3
3
3 单调排列，其中
4
4
4 和
2
2
2 都是折点。 给定
n
n
n 和
k
k
k，请问
1
∼
n
1 ∼ n
1∼n 的所有排列中有多少个
k
k
k 单调排列？
输入格式
输入一行包含两个整数
n
n
n,
k
k
k。
输出格式
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，你可需要输出满足条件的排列 数量除以
123456
123456
123456 的余数即可。
输入输出样例 #1
输入 #1
4 2
输出 #1
12
说明/提示
对于
20
%
20 \\%
20% 的评测用例,
1
≤
k
≤
n
≤
10
1 \\leq k \\leq n \\leq 10
1≤k≤n≤10;
对于
40
%
40 \\%
40% 的评测用例,
1
≤
k
≤
n
≤
20
1 \\leq k \\leq n \\leq 20
1≤k≤n≤20; 对于
60
%
60 \\%
60% 的评测用例,
1
≤
k
≤
n
≤
100
1 \\leq k \\leq n \\leq 100
1≤k≤n≤100;
对于所有评测用例，
1
≤
k
≤
n
≤
500
1 \\leq k \\leq n \\leq 500
1≤k≤n≤500 。
蓝桥杯 2019 年国赛 B 组 G 题。
数论
通过N排列构建N+1排列
f(a,n)=b 。a是长度为N的排列(以下简称N排列)，b是长度为N+1的排列，
n
∈
[
0
,
N
]
n\\in[0,N]
n∈[0,N]表示将N+1插入到n处。下面来证明f是单射函数。 一，
n
1
≠
n
2
，则
f
(
a
1
,
n
1
)
≠
f
(
a
2
,
n
2
)
n1 \\neq n2，则f(a1,n1)\\neq f(a2,n2)
n1=n2，则f(a1,n1)=f(a2,n2)。因为
b
1
[
n
1
]
≠
b
2
[
n
2
]
b1[n1]\\neq b2[n2]
b1[n1]=b2[n2]。 二，
n
1
=
=
n
2
,
a
1
≠
a
2
→
一定存在
a
1
[
i
1
]
≠
a
2
[
i
1
]
如果
n
1
>
i
1
，则
b
1
[
i
1
]
≠
b
1
[
i
1
]
；否则
b
1
[
i
1
+
1
]
≠
b
1
[
i
1
+
1
]
n1 == n2,a1 \\neq a2 \\rightarrow 一定存在a1[i1] \\neq a2[i1] 如果n1 > i1，则b1[i1] \\neq b1[i1]；否则b1[i1+1] \\neq b1[i1+1]
n1==n2,a1=a2→一定存在a1[i1]=a2[i1]如果n1>i1，则b1[i1]=b1[i1]；否则b1[i1+1]=b1[i1+1]。
单调区间
一个排列有k个折点，下标分别为
i
1
,
i
2
⋯
i
k
−
1
,
i
k
i_1,i_2\\cdots i_k-1,i_k
i1,i2⋯ik−1,ik 则只有两种情况。情况一：
a
[
0…
i
1
]
a
[
i
2
.
.
.
i
3
]
a
[
i
4
.
.
.
i
5
]
⋯
a[0…i_1] a[i_2…i_3] a[i_4…i_5]\\cdots
a[0…i1]a[i2…i3]a[i4…i5]⋯ 单调递增，其它单调递减。 情况二：
a
[
0…
i
1
]
a
[
i
2
.
.
.
i
3
]
a
[
i
4
.
.
.
i
5
]
⋯
a[0…i_1] a[i_2…i_3] a[i_4…i_5]\\cdots
a[0…i1]a[i2…i3]a[i4…i5]⋯ 单调递减，其它单调递增。 总结一：共k+1个单调区间，奇偶性相同的区间单调性相同；奇偶性不同的区间单调性不同。 性质一：任意排列c[i]=N+1-a[i] (第k大的数变低k小)，则a、c的单调区间数量相等，单调性相反。我们成ac为一对。 如果a[i] < a[i+1]，则是增加一条右上的线，否则右下的线。则对应以下两种情况： 
dp[n][k]n排列共有k个折点的方案数。 情况一：对于任意a，n = N。如果a[N-1] < a[N-2]，则b比a多一个折点N-1；否则折点不变。 情况二：n==0,如果a[0] < a[1]，折点+1，否则折点不变。 总结二：对每对方案，情况一情况二折点不变和折点加+1的方案数一样。即： dp[n+1][k] += dp[n][k] dp[n+1][k+1] += dp[n][k] 情况三：除去情况一二，我们可以看成边上加一点。令在边i,i+1间插入N+1。 mi = min(a[i],a[i+1]) ma = max(a[i],a[i+1])。 由于mi小于ma，故mi不会是大折点。 如果mi是小折点，则N+1代替a[ma]后，仍然是小折点。故无需讨论mi。 如果ma是大折点，则插入后。 ma不再是大折点。N+1变成大折点。一对方案，共K个大折点，共2k条边。故：dp[n][k] += dp[n][k] *k。 如果ma是a[0]或a[N-1]，插入后，ma不是折点。N+1是折点，故折点+1。dp[n+1][k+1] += dp[n][k] 如果ma不是a[0]和a[N-1]，插入后。ma和N+1都是折点，折点+2。 总结三：f函数执行后，折点可能不变，+1,+2。 总方案数：n+1 折点不变的方案数：1+k 折点+1的方案数：2 折点+2的方案数：
(
n
+
1
)
−
(
1
+
k
)
−
2
=
n
−
k
−
2
(n+1)-(1+k)-2=n-k-2
(n+1)−(1+k)−2=n−k−2
代码
核心代码
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>
#include <bitset>
using namespace std;
template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
in >> pr.first >> pr.second;
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
return in;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
int n;
cin >> n;
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
vector<T> ret;
T tmp;
while (cin >> tmp) {
ret.emplace_back(tmp);
if ('\\n' == cin.get()) { break; }
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
COutBuff() {
m_p = puffer;
}
template<class T>
void write(T x) {
int num[28], sp = 0;
if (x < 0)
*m_p++ = '-', x = –x;
if (!x)
*m_p++ = 48;
while (x)
num[++sp] = x % 10, x /= 10;
while (sp)
*m_p++ = num[sp—] + 48;
AuotToFile();
}
void writestr(const char* sz) {
strcpy(m_p, sz);
m_p += strlen(sz);
AuotToFile();
}
inline void write(char ch)
{
*m_p++ = ch;
AuotToFile();
}
inline void ToFile() {
fwrite(puffer, 1, m_p – puffer, stdout);
m_p = puffer;
}
~COutBuff() {
ToFile();
}
private:
inline void AuotToFile() {
if (m_p – puffer > N – 100) {
ToFile();
}
}
char puffer[N], * m_p;
};
template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
inline CInBuff() {}
inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
FileToBuf();
while (('\\r' == *S) || ('\\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
ch = *S++;
return *this;
}
inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
FileToBuf();
int x(0), f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? –x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
FileToBuf();
long long x(0); int f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? –x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
template<class T1, class T2>
inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
*this >> val.first >> val.second;
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
return *this;
}
template<class T = int>
inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
int n;
*this >> n;
val.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> val[i];
}
return *this;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
vector<T> ret;
*this >> ret;
return ret;
}
private:
inline void FileToBuf() {
const int canRead = m_iWritePos – (S – buffer);
if (canRead >= 100) { return; }
if (m_bFinish) { return; }
for (int i = 0; i < canRead; i++)
{
buffer[i] = S[i];//memcpy出错
}
m_iWritePos = canRead;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N – m_iWritePos, stdin);
if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
m_iWritePos += readCnt;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
}
int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
char buffer[N + 10], * S = buffer;
};
template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:
C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD)
{
}
C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((T2)MOD + m_iData – o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator–(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((T2)MOD + m_iData – o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const
{
return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator/(const C1097Int& o)const
{
return *this * o.PowNegative1();
}
C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
{
*this *= o.PowNegative1();
return *this;
}
bool operator==(const C1097Int& o)const
{
return m_iData == o.m_iData;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(T2 n)const
{
C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD – 2);
}
T1 ToInt()const
{
return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;
}
private:
T1 m_iData = 0;;
};
class Solution {
public:
int Ans(const int N, const int K) {
if (1 == N) { return 1 == K; }
typedef C1097Int<123456> BI;
vector<BI> pre = { 2,0,0 };
for (int n = 2; n < N; n++) {
vector<BI> cur(n + 2);
for (int k = 0; k < pre.size(); k++) {
cur[k] += pre[k] * (1 + k);
cur[k + 1] += pre[k] * 2;
if (n – k – 2 > 0)
{
cur[k + 2] += pre[k] * (n – k – 2);
}
}
pre.swap(cur);
}
return pre[K – 1].ToInt();
}
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
int N,K;
cin >> N >> K;
#ifdef _DEBUG
//printf("N=%d,K=%d", N,M);
//Out(grid, ",gird=");
//Out(rr, ",rr=");
//Out(ab, ",ab=");
//Out(par, "par=");
//Out(que, "que=");
//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG
auto res = Solution().Ans(N,K);
cout << res << "\\n";
return 0;
};
单元测试
TEST_METHOD(TestMethod11)
{
auto res = Solution().Ans(4,2);
AssertEx(12, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod12)
{
auto res = Solution().Ans(2, 1);
AssertEx(2, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod13)
{
auto res = Solution().Ans(1, 1);
AssertEx(1, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod14)
{
auto res = Solution().Ans(1, 2);
AssertEx(0, res);
}
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17 或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17 如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
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