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📖 数学入门全解
本系列教程为CQF(国际量化金融分析师证书)认证所需的数学预备知识，涵盖所有需要了解的数学基础知识，旨在帮助读者熟悉核心课程所需的数学水平。
教程涵盖以下四个主题：
- 微积分
- 线性代数
- 微分方程
- 概率与统计
1.2.2 函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的类型详解
一、多项式函数
定义 形如
y
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \\dots + a_nx^n
y=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn 的函数称为多项式函数，其中：
-
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
a_0, a_1, \\dots, a_n
a0,a1,…,an 是常数系数（a
n
≠
0
a_n \\neq 0
an=0） - 最高次项
x
n
x^n
xn 的指数n
n
n 称为多项式的次数（如x
3
x^3
x3 是三次项，则该多项式为三次多项式）
通用表达式 可用求和符号简写为：
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
a
k
x
k
f(x) = \\sum_{k=0}^{n} a_k x^k
f(x)=k=0∑nakxk 例如：
-
f
(
x
)
=
2
x
3
−
x
+
5
f(x) = 2x^3 – x + 5
f(x)=2x3−x+5 是三次多项式（最高次项为x
3
x^3
x3） -
g
(
x
)
=
4
g(x) = 4
g(x)=4 是零次多项式（常数函数）
二、多项式方程
基本形式 当多项式函数等于零时，即
f
(
x
)
=
0
f(x) = 0
f(x)=0，称为多项式方程。
方程次数由最高次项的次数决定。
一次方程与二次方程
- 一次方程（线性方程）：
a
x
+
b
=
0
ax + b = 0
ax+b=0 解为x
=
−
b
/
a
x = -b/a
x=−b/a（唯一实数解） - 二次方程（核心内容）：
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
ax^2 + bx + c = 0
ax2+bx+c=0（a
≠
0
a \\neq 0
a=0）
三、二次方程的解法（配方法）
步骤详解：
配方目标：将方程转化为
(
x
+
m
)
2
=
n
(x + m)^2 = n
(x+m)2=n 的形式
- 原方程：
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
ax^2 + bx + c = 0
ax2+bx+c=0 - 移项得：
a
x
2
+
b
x
=
−
c
ax^2 + bx = -c
ax2+bx=−c - 两边除以
a
a
a：x
2
+
b
a
x
=
−
c
a
x^2 + \\frac{b}{a}x = -\\frac{c}{a}
x2+abx=−ac
完成平方：
-
关键操作：对
x
2
+
b
a
x
x^2 + \\frac{b}{a}x
x2+abx 添加
(
b
2
a
)
2
(\\frac{b}{2a})^2
(2ab)2 使其成为完全平方
-
方程变为：
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
=
(
b
2
a
)
2
−
c
a
x^2 + \\frac{b}{a}x + \\left( \\frac{b}{2a} \\right)^2 = \\left( \\frac{b}{2a} \\right)^2 – \\frac{c}{a}
x2+abx+(2ab)2=(2ab)2−ac
-
左边化简为：
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
\\left( x + \\frac{b}{2a} \\right)^2 = \\frac{b^2 – 4ac}{4a^2}
(x+2ab)2=4a2b2−4ac
求根公式：
-
开平方得：
x
+
b
2
a
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x + \\frac{b}{2a} = \\pm \\frac{\\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
x+2ab=±2ab2−4ac
-
最终解：
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x = \\frac{ -b \\pm \\sqrt{b^2 – 4ac} }{ 2a }
x=2a−b±b2−4ac
四、判别式与根的分布
判别式
Δ
=
b
2
−
4
a
c
\\Delta = b^2 – 4ac
Δ=b2−4ac 决定根的性质：
Δ
>
0
\\Delta > 0
Δ>0
- 方程有两个不同实根
- 例：
x
2
−
5
x
+
6
=
0
x^2 – 5x + 6 = 0
x2−5x+6=0，Δ
=
1
>
0
\\Delta = 1 > 0
Δ=1>0，解为x
=
2
x=2
x=2 和x
=
3
x=3
x=3
Δ
=
0
\\Delta = 0
Δ=0
- 方程有唯一实根（重根）
- 例：
x
2
−
4
x
+
4
=
0
x^2 – 4x + 4 = 0
x2−4x+4=0，Δ
=
0
\\Delta = 0
Δ=0，解为x
=
2
x=2
x=2（二重根）
Δ
<
0
\\Delta < 0
Δ<0
- 方程无实根，有共轭复数根
- 例：
x
2
+
1
=
0
x^2 + 1 = 0
x2+1=0，Δ
=
−
4
<
0
\\Delta = -4 < 0
Δ=−4<0，解为x
=
±
i
x = \\pm i
x=±i
五、知识框图
多项式函数
├─ 定义：由x的幂次项组成
├─ 次数：最高次项的指数
└─ 方程：f(x)=0 → 多项式方程
├─ 一次方程：ax + b = 0 → 单根
└─ 二次方程：ax² + bx + c = 0
├─ 解法：配方法 → 求根公式
└─ 根的判别式（Δ）
├─ Δ > 0 → 两实根
├─ Δ = 0 → 重根
└─ Δ < 0 → 共轭复根
六、常见误区
a
≠
0
a \\neq 0
a=0，否则退化为一次方程
x
=
−
b
2
a
±
4
a
c
−
b
2
2
a
i
x = \\frac{-b}{2a} \\pm \\frac{\\sqrt{4ac – b^2}}{2a}i
x=2a−b±2a4ac−b2i，实部相同，虚部相反
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