QPSK开环频偏估计：4次方+FFT频偏检测与校正原理及Matlab仿真

QPSK开环频偏估计：4次方+FFT频偏检测与校正原理及Matlab仿真

摘要

QPSK通信系统中，晶振偏差、多普勒效应会引入载波频偏。频偏较大时Costas闭环载波同步会超出捕获范围，出现无法锁相、星座持续旋转问题。本文讲解基于4次方运算+FFT的开环频偏估计算法，对定时同步后的基带复信号做4次方运算消除调制信息，通过FFT频谱峰值搜索得到粗频偏估计；利用估计值对接收信号完成预校正，将残余频偏压缩到Costas环捕获范围内，再交由闭环环路做精细相位跟踪。算法可直接接入现有QPSK接收机链路，附带完整Matlab仿真实现。

一、前言

前面系列文章完成QPSK接收机：定时同步、载波同步、集中导频消除相位模糊。

但Costas环属于闭环跟踪，优点是噪声条件下相位跟踪精度高，但存在固有短板：捕获范围有限。当实际载波频偏大于环路最大捕获频偏时，环路无法入锁，星座一直旋转，解调完全失效。

工程接收机常用组合架构：

开环粗频偏估计 → 频偏预校正 → Costas闭环精细载波同步

开环算法负责把大频偏压缩变小，闭环环路负责高精度相位跟踪。针对QPSK调制，主流方案就是4次方+FFT频偏估计。BPSK使用2次方，M‑PSK通用M次方。

二、数学原理

经过定时同步采样之后的复基带接收信号：

$$r(k)=A\cdot s(k)\cdot e^{j(2\pi \Delta f\cdot k{T}_s+\theta )}+n(k)$$

• $s(k)$：QPSK发送符号，取值$\{\pm 1\pm j\}$
• $\Delta f$：待估计载波频偏
• $T_s$：符号周期
• $\theta$：初始载波相偏
• $n(k)$：复高斯噪声

QPSK符号满足：$s^4(k)=(\pm 1\pm j{)}^4=-4$，符号信息经过4次方运算之后变成常数，调制信息被消除。

对接收信号做4次方：

$$r^4(k)=A^4\cdot s^4(k)\cdot e^{j4(2\pi \Delta f\cdot k{T}_s+\theta )}+n^{\prime }(k)=C\cdot e^{j\left(2\pi \cdot 4\Delta f\cdot k{T}_s+4\theta \right)}+n^{\prime }(k)$$

关键现象：

对$r^4(k)$做FFT，寻找频谱幅度最大值对应的频率点$f_{peak}$，则：

$$\widehat{\Delta f}=\frac{f_{peak}}{4}$$

即可得到原始载波频偏的粗估计值。

从上式的公式中可以看到，频偏估计的精度受FFT计算的最大值对应频率点$f_{peak}$影响，其受数据长度限制，存在栅栏效应。

三、频偏校正

得到频偏估计$\widehat{\Delta f}$之后，对原始接收基带信号做频偏补偿，乘以补偿旋转因子：

$$r_{\text{comp}}(k)=r(k)\cdot e^{-j\cdot 2\pi \widehat{\Delta f}\cdot k{T}_s}$$

经过校正之后，信号只剩下残余小频偏与固定相偏，残余频偏一般落入Costas环捕获范围，后续送入Costas环做精细相位跟踪。

四、Matlab核心仿真代码

完整代码放在下面链接了：
https://download.csdn.net/download/wobiaosha2753/93394687

%% 频偏估计加纠正
N_fft = 512; % FFT点数
r4 = rx_ds(1:N_fft).^4; % 取前N_fft点做4次方运算
fft_r4 = fftshift(fft(r4,N_fft));
[~,max_idx] = max(abs(fft_r4)); % 寻找频谱峰值位置
% figure,plot(abs(fft_r4));
% FFT频率轴
f_axis = (–N_fft/2:N_fft/2–1)/N_fft * data_rata;
f4_peak = f_axis(max_idx);
delta_f_hat = f4_peak / 4; % 恢复真实频偏估计值

%频偏预校正
k = 1:length(rx_ds);
rx_post_fw = rx_ds .* exp(–1i*2*pi*delta_f_hat*k/data_rata);

五、仿真结果分析

仿真环境为：符号速率1M的传输信号，信道过程中添加了50k频偏，

无频偏纠正结果：

可以看到，频偏超过锁相环的跟踪范围后，锁相环实现，星座图一直旋转，解调失败。

有频偏纠正结果：

可以看到，当前置的频偏纠正模块把较大频偏纠正后，细小频偏和相偏可通过锁相环跟踪。最终星座图正确。

频偏估计误差：

正模块把较大频偏纠正后，细小频偏和相偏可通过锁相环跟踪。最终星座图正确。

频偏估计误差：

数学原理部分也已说明频偏估计的精度受FFT长度影响，本文仿真中设定使用512点FFT，分辨率为符号速率除以FFT长度即：$1e6/512=1.9e3$，结果表示估计的频偏与真实频偏的误差小于1.9k/2。